méo nhiều nhất ở ngay dưới chân bạn
Ví dụ này cho phép ta đi thẳng tới cốt lõi của khuôn khổ toán học của hình
học Riemann để mô tả những hình dạng cong. Dựa trên những phát minh
của các nhà toán học như Carl Friedric Gauss, Nicolai Lobachevsky, Janos
Bolyai và những người khác,
Riemann đã chứng tỏ được rằng sự phân
tích kỹ lưỡng những khoảng cách giữa các điểm ở trên hoặc trong vật
sẽ cho ta một phương tiện để định lượng hóa mức độ cong của nó
. Nói
một cách nôm na, sự giãn ra (không đều) càng lớn, thì sự lệch khỏi những
quan hệ về khoảng cách trên một hình dạng phẳng càng lớn. Ví dụ, tấm
nhảy bị giãn mạnh nhất ở ngay dưới cơ thể bạn và do đó những quan hệ về
khoảng cách giữa các điểm trên vùng đó sẽ bị méo mó đi nhiều nhất. Vì
vậy, vùng này của tấm nhảy sẽ có độ cong lớn nhất, đúng như ta chờ đợi, vì
đây cũng là chỗ hình ảnh của Mona Lisa bị biến dạng mạnh nhất, làm nhăn
nhó góc miệng vốn thường thể hiện nụ cười đầy bí ẩn của nàng.
Einstein đã chấp nhận những phát minh toán học của Riemann bằng cách
cho nó một giải thích vật lý cụ thể. Và như ta thấy trong Chương 3, ông đã
chứng minh được rằng độ cong của không-thời gian chính là hiện thân của
lực hấp dẫn. Như bây giờ chúng ta hãy suy ngẫm về cách giải thích đó một
cách kỹ lưỡng hơn. Về mặt toán học, độ cong của không -thời gian, tựa như
độ cong của tấm nhảy, phản ánh những mối quan hệ về khoảng cách giữa
các điểm bị nó biến dạng đi. Về mặt vật lý, lực hấp dẫn mà một vật cảm
nhận thấy lạ là sự phản ánh trực tiếp của sự biến dạng đó. Thực tế, bằng
cách làm cho vật nhỏ dần lại, toán học và vật lý sẽ càng phù hợp với nhau
một cách chính xác hơn theo mức độ thể hiện vật lý càng gần tới khái niệm
điểm, một khái niệm toán học trừu tượng. Nhưng lý thuyết dây lại áp đặt
một giới hạn đối với độ chính xác mà vật lý của lực hấp dẫn có thể cụ thể
hóa hình thức luận hình học của Riemann, bởi vì việc làm vật nhỏ dần cũng
có giới hạn của nó. Một khi đã làm nhỏ vật tới kích thước của các dây, bạn
sẽ không thể làm cho nó nhỏ hơn được nữa. Như vậy, khái niệm truyền
thống về các hạt điểm không còn tồn tại trong lý thuyết dây. Đây là một yếu
tố cơ bản trong khả năng của nó để cho chúng ta một lý thuyết lượng tử của
lực hấp dẫn. Điều này chỉ ra một cách cụ thể cho chúng ta thấy rằng khuôn
