193
9.2 Bài toán uốn phẳng của dầm
Vẽ biểu ñồ mômen uốn, biểu ñồ lực cắt và ñường ñàn hồi của một dầm là một bài
toán tương ñối phức tạp ñặc biệt ñối với dầm siêu tĩnh. Trong phần này, phương
pháp sai phân hữu hạn ñược trình bày ñể giải quyết bài toán này.
Như ta biết trong giáo trình Sức bền vật liệu,
phương trình vi phân ñường ñàn hồi của dầm có ñộ
cứng chống uốn không ñổi,
const
EI
=
, chịu uốn
phẳng có dạng
4
4
( )
d w
EI
q x
dx
=
với
( )
q x là cường ñộ lực phân bố, hàm chuyển vị
cần tìm
( )
w x cần phải thỏa mãn thêm các ñiều
kiện biên của dầm.
Mômen uốn và lực cắt ñược tính theo hàm chuyển vị
( )
w x
( )
( ) ( ),
( )
[
( ) ( )]
M x
EI x w x
Q x
EI x w x
′′
′′
′
= −
= −
.
Bây giờ ta sẽ sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn ñể giải gần ñúng phương
trình vi phân cấp bốn trên với các ñiều kiện biên cho trước. Chia dầm với chiều dài
L thành
1
n
− ñoạn bằng nhau nhờ các ñiểm chia cách ñều
(
1)
i
x
i
h
=
−
,
1, 2,...,
i
n
=
. Thay vì tìm hàm
( ), 0
w x
x
L
≤
≤ , ta chỉ tìm nghiệm tại các ñiểm
chia,
( )
i
i
w
w x
=
. Sử dụng công thức sai phân trung tâm ta có
4
(4)
1
2
1
1
2
(
4
6
4
)
i
i
i
i
i
h
w
w
w
w
w
w
+
+
−
−
=
−
+
−
+
với
1, 2,...,
i
n
=
. ðể thấy rõ các nút ảo (bên ngoài miền khảo sát) ta sẽ viết cụ thể
hơn các phương trình trên
4
1
0
1
2
3
1
(
4
6
4
)
EI w
w
w
w
w
h q
−
−
+
−
+
=
4
0
1
2
3
4
2
(
4
6
4
)
EI w
w
w
w
w
h q
−
+
−
+
=
4
1
2
3
4
5
3
(
4
6
4
)
EI w
w
w
w
w
h q
−
+
−
+
=
...
4
2
1
1
2
(
4
6
4
)
k
k
k
k
k
k
EI w
w
w
w
w
h q
−
−
+
+
−
+
−
+
=
,
i
k
=
…
4
3
2
1
1
1
(
4
6
4
)
n
n
n
n
n
n
EI w
w
w
w
w
h q
−
−
−
+
−
−
+
−
+
=
4
2
1
1
2
(
4
6
4
)
n
n
n
n
n
n
EI w
w
w
w
w
h q
−
−
+
+
−
+
−
+
=
Mômen uốn và lực cắt ñược tính theo công thức sai phân
1
1
2
1
1
2
2
3
(
2
),
[
2
2
]
2
bi
i
i
i
i
i
i
i
i
EI
EI
M
w
w
w
Q
w
w
w
w
h
h
−
+
−
−
+
+
= −
−
+
= −
−
+
−
+
EI
x
L
q(x)
w
Hình 9-4.
