9/16/2015
11
Ma trận tựa nghịch đảo [pseudo-inverse]
1
1
2
2
(
)
(
)
T
T
J
e We
Ax
b W Ax
b
1
1
,
,
,
,
( )
m n
n
m
m
n
rank
n
Ax
b
A
x
b
A
Hệ PT đại số tuyến tính với số PT nhiều hơn số ẩn
. Thông thường PT không
có nghiệm thỏa mãn.
PT không có nghiệm thỏa mãn, Tuy nhiên, ta có thể tìm được vectơ x sao
cho sai số
min
e
Ax
b
Một cách tổng quát ta có thể đặt lại bài toán như sau: tìm véctơ x sao cho
hàm sau đây đạt cực tiểu
W là
ma trận trọng số đối xứng xác định dương
Ma trận tựa nghịch đảo [pseudo-inverse]
(
)
0
T
J
A W Ax
b
x
Đạo hàm J theo biến x và cho bằng 0, ta nhận được
1
[
]
T
T
x
A WA A Wb
Khi W
là một ma trận đơn vị
†
1
[
]
T
T
A
A A A
được gọi là ma trận tựa nghịch đảo
trái
của A
2
1
†
1
1
2
2
1
[
]
n
T
T
T
i
i
J
e
and
e e
x
A A A b
A b
†
1
[
]
T
T
A
A AA
được gọi là ma trận tựa nghịch đảo
phải
của A
(xác định nghiệm hệ có số ẩn < số pt)
(xác định nghiệm hệ có số pt < số ẩn)
Ma trận tựa nghịch đảo [pseudo-inverse]
2
2
min(
)
x
Ax
b
x
det( )
A
A
Khi giải các hệ ở điều kiện yếu, người ta hay sử dụng phương pháp bình
phương tối thiểu có trọng số (damped least square inverse). Theo phương
pháp này, nghiệm của phương trình được tìm với điều kiện bổ sung như
sau:
Trường hợp ma trận A ở điều kiện yếu [
ill-condition
]
Trong các trường hợp det(A) khác không nhưng nhỏ hơn chuẩn của nó nhiều
lần, thì nghiệm tìm được rất nhạy đối với các phương pháp tính, đặc biệt một
sự thay đổi rất nhỏ của A có thể làm cho nghiệm thay đổi rất nhiều, (A là ma
trận ở điều kiện yếu)
( )
(
) (
)
(
)
(
)
min
T
T
T
T
T
T
T
T
f x
Ax
b
Ax
b
x
E x
x A A
E x
b Ax
x A b
b b
Chọn trọng
số
> 0
1
,
, ,
n n
n
Ax
b
A
x b
Ma trận tựa nghịch đảo [pseudo-inverse]
Trường hợp ma trận A ở điều kiện yếu [
ill-condition
]
( )
(
) (
)
(
)
(
)
min
T
T
T
T
T
T
T
T
f x
Ax
b
Ax
b
x
E x
x A A
E x
b Ax
x A b
b b
Đạo hàm theo biến véctơ x và cho kết quả bằng không, ta nhận được
( )
2(
)
2
0
T
T
T
f x
A A
E x
A b
x
1
(
)
T
T
x
A A
E
A b
Bài toán dạng này thường xuất hiện trong các bài toán động học ngược
rôbốt công nghiệp khi mà rôbốt chuyển động gần hoặc qua các cấu hình kỳ
dị, tại đó ma trận Jacôbi suy biến hay bị giảm hạng.
Giải được
†
1
0 :
[
]
T
T
x
A b
A A A b
