9/16/2015
10
Ma trận tựa nghịch đảo
Ma trận tựa nghịch đảo [
pseudo-inverse
], help pinv
Giải hệ A x = b; A là ma trận chữ nhật
-
Số ẩn > số phương trình
-
Số ẩn < số phương trình
Ax
b
-
Số ẩn > số phương trình:
vô số nghiệm, do đó có thể đưa thêm điều kiện
vào bài toán. Ví dụ cần tìm x sao cho độ lớn (chuẩn) của x nhỏ nhất
,
,
,
( )
1
min
2
m n
T
n
m
rank
m
J
Ax
b A
A
x x
Bài toán xuất hiện :
-
Robot dư dẫn động (số tọa độ khớp >6, robot kg; số tọa độ khớp >3, robot
phẳng; [
kinematics of redundant manipulator
]
-
Tàu lặn mini (số cánh quạt >6).
Ref. Mot so bai toan lien quan ma tran
Ma trận tựa nghịch đảo
1
2
(
)
(
)
min
T
o
o
J
x
x
W x
x
Nếu ma trận A suy biến, det(A) = 0, tức là trong ma trận A có những hàng là tổ
hợp tuyến tính của các hàng khác. Do đó, ta có thể biến đổi hệ phương trình
ban đầu về một hệ gồm m phương trình độc lập (m<n). Trường hợp này sẽ
được xem xét trong phần sau.
Ma trận A chữ nhật cỡ mxn, (m<n), hạng bằng m, [full rank]
Hệ phương trình đại số tuyến tính Ax = b sẽ có vô số nghiệm. Điều này cho
phép ta tìm được một nghiệm tối ưu theo một nghĩa nào đó từ tập vô số các
nghiệm.
Đưa vào tiêu chuẩn tối ưu cho nghiệm cần tìm
Ax
b
Tìm nghiệm của phương trình
sao cho
0
W
x
-
Ma trận trọng số (xác định dương)
-
Véc tơ tham chiếu (được chọn trước)
1
2
min
T
o
J
x
0
x Wx
2
2
2
(
)
min
T
J
W
E
x x
x
Ma trận tựa nghịch đảo
1
2
( , )
(
)
(
)
[
]
T
T
o
o
x
x
x
W x
x
b Ax
λ
λ
Sử dụng PP nhân tử Lagrange để giải quyết bài toán tối ưu trên:
ta sẽ tìm cực trị của hàm Lagrange như sau
1
m
λ
( , )
(
)
0
T
o
x
W x
x
A
x
λ
λ
1
T
o
x
W A
x
λ
1
T
o
b
Ax
AW A
Ax
λ
1
( )
det[
]
0
T
rank
m
A
AW A
Đạo hàm theo biến x ta nhận được
Giải tìm được
Thay trở lại phương trình ban đầu
Do A có hạng đầy đủ nên
1
1
[
] (
)
T
o
AW A
b
Ax
λ
Ma trận tựa nghịch đảo [pseudo-inverse]
1
1
1
1
o
1
1
1
1
1
1
o
[
] (
)
[
]
(
[
]
)
T
o
T
T
o
T
T
T
T
x
W A
x
W A AW A
b
Ax
x
W A AW A
b
E
W A AW A
A x
λ
1
1
[
] (
)
T
o
AW A
b
Ax
λ
†
1
1
1
[
]
T
T
W
A
W A AW A
được gọi là ma trận tựa nghịch đảo có trọng số của ma trận A.
Ma trận
Nếu W là ma trận đơn vị ta có là ma trận tựa nghịch đảo (
phải
)
của A.
†
1
[
]
T
T
A
A AA
†
†
†
(
) ;
o
o
khi
x
A b
E
A A x
x
0
x
A b
Nếu A vuông, ko suy biến
†
1
1
1
1
[
]
[
]
T
T
T
T
T
T
A
A AA
A A A
A A A
A
