02/12/2015
20
39
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Ổn định của hệ tuyến tính
Chứng minh (
We make a constructive proof
)
Với ma trận Q thực đối xứng x.đ.d, ta xét nghiệm P
0
T
T
t
t
e
e dt
¥
=
ò
A
A
P
Q
0
0
T
T
=
>
=
>
Q
Q
P
P
(
)
T
+
= -
PA
A P
Q
Từ
Chú ý rằng, tích phân trên chỉ hội tụ khi ma trận A là Hurwitz (các trị riêng của
A có phần thực âm).
Ta sẽ chỉ ra, ma trận P thỏa mãn phương trình ma trận Lyapunov
Ta có
0
0
0
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
dt
d
e
e
dt
e
e
dt
¥
¥
¥
é
ù
+
=
+
ê
ú
ë
û
é
ù
=
=
= -
ê
ú
ë
û
ò
ò
A
A
A
A
A
A
A
A
PA
A P
A
Q
Q
A
Q
Q
Q
40
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Ổn định của hệ tuyến tính (LTI): PP Lyapunov
Kết luận về tính ổn định tiệm cận từ trị riêng của ma trận A
Xét điểm cân bằng x = 0 của hệ LTI
với ma trận A chéo hóa
được bằng ma trận Q
=
x
Ax
1
1
,
,
(0)
(0)
-
-
=
=
=
=
=
=
x
Qy x
Qy
x
Qy
AQy
y
Q AQy y
Q x
Với A chéo hóa được, tức tồn tại ma trận Q :
1
1
2
( , ,..., )
n
diag l l
l
-
=
=
Q AQ
L
,0
,
(0)
y ,
1,2,...,
i
i i
i
i
y
y
y
i
n
l
=
=
=
1
2
( )
(0),
1,2,...,
( )
(
,
,...,
) (0)
i
n
t
i
i
t
t
t
y t
e y
i
n
t
diag e
e
e
l
l
l
l
=
=
=
y
y
1
2
1
( )
( )
(0)
(
,
,...,
,)
n
t
t
t
t
t
t
t
e
e
diag e
e
e
l
l
l
-
=
=
=
x
Qy
Q
Q x
L
L
Như thế, hệ tuyến tính với A chéo
hóa được là ổn định tiệm cận nếu
Nếu có Re(
i
) = 0, thì hệ không ổn
định tiệm cận, nhưng ổn định biên.
Re( )
0,
1,2,...,
i
i
n
l
<
" =
