02/12/2015
17
33
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Phương pháp Lyapunov
Minh họa hàm xác định dương đối với hai biến x
1
và x
2
0
x
1
x
2
V
x
2
x
1
V(x)=C
3
V(x)=C
2
V(x)=C
1
0 < C
1
< C
2
< C
3
x
x(t)
x(0)
v
Véc tơ vuông góc với tiếp tuyến của đường cong v
k
và hướng theo chiều tăng
C
k
là
1
2
grad
,
, ,
T
T
v
n
V
V
V
V
V
x
x
x
x
Sẽ hướng từ trong ra ngoài đường cong v
k
.
34
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Phương pháp Lyapunov
V(x)=C
3
V(x)=C
2
V(x)=C
1
0 < C
1
< C
2
< C
3
x
x(t)
x(0)
v
Do có
1
2
,
, ,
grad
grad
cos
T
n
T
dV
V d
V
V
V
d
dt
dt
x
x
x
dt
d
d
V
V
dt
dt
x
x
x
x
x
mà
chính là tiếp tuyến
của quĩ đạo trạng thái x(t), nên với
điều kiện dV/dt < 0, góc
tạo bởi
gradV và dx/dt phải là góc tù (lớn
hớn 90
), tức là quĩ đạo trạng thái
x(t) sẽ cắt các đường cong v
k
theo
hướng từ ngoài vào trong.
/
d
dt
x
x
Lưu ý:
•
Định lý này áp dụng cho cả
hệ phi tuyến
.
•
Nếu không tìm được hàm Lyapunov thì không thể
khẳng định về tính ổn định của hệ. Định lý cho ta
điều kiện đủ
để xác định tính ổn định của hệ.
