02/12/2015
19
37
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Ổn định của hệ tuyến tính
Xét hệ động lực tuyến tính mô tả bởi phương trình
0
,
(0)
=
=
x
Ax
x
x
Hệ trên là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi đối với mỗi ma trận Q thực đối
xứng xác định dương nghiệm P của phương trình ma trận Lyapunov sau
là (thực đối xứng) xác định dương.
T
+
= -
A P
PA
Q
Chứng minh (điều kiện cần)
1. Nếu hệ ổn định tiệm cận thì với mỗi Q thực đối xứng x.đ.d tồn tại P thực
đối xứng xác định dương thỏa mãn pt ma trận Lyapunov.
Sử dụng phương pháp phản chứng: giả sử rằng với mọi x
0, ta có
0,
&
0
T
T
>
-
<
" ¹
x Px
x Qx
x
0
Mà hệ không ổn định tiệm cận hay ma trận hệ A không ổn định tiệm cận. Điều này
có nghĩa là với điều kiều đầu x(0)
0, nghiệm
0
(
)
( )
(0)
t t
t
e
-
=
A
x
x
giới nội và không hội tụ về gốc tọa độ.
det
0
A ¹
38
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Ổn định của hệ tuyến tính
Chứng minh (điều kiện đủ)
2. Nếu tồn tại Q thực đối xứng xác định dương & P x.đ.d. thỏa mãn
phương trình ma trận Lyapunov thì hệ là ổn định tiệm cận. Thực vậy, ta
chọn hàm Lyapunov và tính đạo hàm của nó
(
)
( )
,
. .
( )
. .
T
T
T
T
T
T
T
T
T
V
p d
V
n d
=
=
+
=
+
=
+
= -
x
x Px
x
x Px
x Px
x PAx
x A Px
x PA
A P x
x Qx
Kết luận: hệ
ổn định tiệm
cận
Định lý về sự tồn tại P thỏa mãn phương trình ma trận Lyapunov. Nếu ma
trận A là Hurwitz (ma trận bền) thì với mọi Q đối xứng x.đ.d sẽ tồn tại P đối
xứng x.đ.d thỏa mãn phương trình ma trận Lyapunov.
Định nghĩa: Ma trận A được gọi là Hurwitz nếu các trị riêng của nó có
phần thực âm, Re(
i
) < 0, i = 1,2,…,n.
