02/12/2015
18
35
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Phương pháp Lyapunov
Ví dụ minh họa. Xét hệ động lực mô tả bởi
1
1
2
2
3
4
2
0
1 0
2
5
1
1 2
0
1
2
0 1
x
u
d
x
u
dt
x
x
Ax Bu
Chọn hàm khả vi, xác định dương
2
2
2
1
2
3
( )
0 0
V
x
x
x
x
x
Đạo hàm V(x) dọc quĩ đạo x(t) của quá trình tự do (u = 0), ta được
0
1
2
3
2
2
2
1
2
3
=[ 2
2
2 ]
=
8
10
4
0
0
u
dV
V
dt
x
x
x
x
x
x
=
¶
=
¶
-
-
-
< " ¹
x
x
Ax
x
Theo định lý Lyapunov về ổn định tiệm cận, ta kết luận hệ ổn định.
36
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Ổn định của hệ tuyến tính (LTI) : PP Lyapunov
Khi áp dụng phương pháp trực tiếp Lyapunov đối với hệ tuyến tính
=
x
Ax
Người ta hay sử dụng hàm trơn xác định dương dạng
( )
,
0
T
T
V
=
=
>
x
x Px
P
P
Đạo hàm V(x) theo thời gian dọc quỹ đạo ta có
(
)
( )
(
)
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
V
=
+
=
+
=
+
=
+
= -
x
x Px
x Px
Ax Px
x Px
x A Px
x PAx
x A P
PA x
x Qx
Như thế, nếu tồn tại ma trận Q đối xứng x.đ.d. thỏa mãn
thì V là hàm Lyapunov và điểm cân bằng x = 0 là ổn định toàn cục. Phương
trình trên được gọi là phương trình ma trận Lyapunov.
(
)
T
+
= -
A P
PA
Q
P là ma trận đx xác định dương
det
0
A
¹
