02/12/2015
16
31
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Phương pháp Lyapunov
Phương pháp Lyapunov gồm hai bước:
1. Xây dựng họ các đường cong v khép kín
chứa điểm cân bằng (gốc tọa độ) bên trong.
2. Kiểm tra xem quĩ đạo trạng thái x(t) tự do
(u=0) có cắt tất cả các đường cong thuộc họ
v từ bên ngoài vào trong hay không. Hiển
nhiên, để x(t) cắt đường cong thuộc họ v từ
ngoài vào trong là tại điểm cắt đó, tiếp tuyến
với quĩ đạo tại điểm cắt đó phải tạo với véc tơ
v
vuông góc với đường cong theo hướng từ
trong ra ngoài một góc lớn hơn 90
.
x
0
x(t)
x(t)
x(0)
v
Định lý Lyapunov
(về ổn định tiệm cận): Nếu tồn tại hàm V(x) thỏa mãn điều kiện:
Khả vi, xác định dương, tức
và (đạo hàm V(x) dọc theo quĩ đạo trạng thái tự do âm).
Thì hệ là ổn định tiệm cận Lyapunov tại gốc (x = 0) hay ổn định BIBO.
Hàm V(x) khi đó được gọi là hàm Lyapunov.
( )
0
&
( )
0
0
V
V
x
x
0
x
x
( )
0
dV
V d
dt
dt
x
x
x
32
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Phương pháp Lyapunov
Chứng minh Định lý Lyapunov
(về ổn định tiệm cận):
Hàm khả vi xác định dương V(x) có tính chất: khi ta cắt nó bằng một mặt phẳng
V = C
k
song song với đáy (không gian trạng thái) va chiếu xuống đáy thì ta sẽ
được một đường cong kín chứa gốc tọa độ. Đường cong v
k
ứng với C
k
nhỏ hơn
thì nằm bên trong đường cong ứng với C
k
lớn hơn.
1
2
1
2
C
C
v
v
nằm bên trong
0
x
1
x
2
V
x
2
x
1
V(x)=C
3
V(x)=C
2
V(x)=C
1
0 < C
1
< C
2
< C
3
x
x(t)
x(0)
v
