02/12/2015
15
29
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Phương pháp Lyapunov
Định lý: Hệ động lực
x
Ax Bu
y
Cx Du
ổn định BIBO
khi và chỉ khi nó
ổn định tiệm cận Lyapunov
, tức là khi và chỉ khi các
quỹ đạo trạng thái tự do (u =0) có hướng tiến về gốc tọa độ và kết thúc tại đó.
Chứng minh: Hệ động lực trên ổn định BIBO, tức là tất cả các trị riêng của ma
trận hệ thống A có phần thực âm.
Quĩ đạo trạng thái tự do (u = 0), xác định bởi
lim ( )
lim
(0)
t
t
t
t
e
A
x
x
0
Do tất cả các trị riêng của ma trận hệ thống A có phần thực âm, nên
Do đó, để kiểm tra tính ổn định tiệm cận Lyapunov (cũng là tính ổn định BIBO), ta
chỉ cần kiểm tra xem quĩ đạo trạng thái của hệ trong quá trình tự do có hướng về
gốc tọa độ và kết thúc tại đó không.
30
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Phương pháp Lyapunov
Tư tưởng của phương pháp Lyapunov
Dựa trên phương diện năng lượng: Năng lượng còn tồn tại bên trong hệ do tác
động tức thời bên ngoài đưa vào được mô bởi một hàm không âm. Hệ sẽ ổn định
(tiệm cận) ở trạng thái cân bằng của nó nếu trong lân cận điểm cân bằng đó hàm
năng lượng này của hệ luôn có xu hướng giảm dần về 0.
x
0
x(t)
x(t)
x(0)
Giả sử bao quanh điểm cân bằng (x = 0) có họ
các đường cong khép kín v. Các đường cong
này được xem như các biên lân cận điểm gốc
0. Để xem quĩ đạo trạng thái x(t) tự do (u=0)
có tiến về gốc tọa độ hay không, ta chỉ cần
xem quĩ đạo x(t) có cắt tất cả các đường cong
thuộc họ v từ bên ngoài vào trong hay không
và nếu điều đó xảy ra thì chắc chắn x(t) phải
có hướng tiến về gốc tọa độ và kết thúc tại đó.
