146
{ }
( )
(0)
df
sF s
f
dt
=
−
ℓ
,
2
2
2
( )
(0)
(0)
d f
s F s
sf
f
dt
=
−
−
ɺ
ℓ
.
Tuy nhiên chúng ta không thể sử dụng lệnh Laplace tác động trực tiếp lên phép
tính đạo hàm. Để giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng bằng phép biến
đổi Laplace, ta cần phải biến đổi Laplace phương trình vi phân đã cho và đưa kết
quả đó vào Matlab. Sau đó sử dụng phép biến đổi Laplace ngược ñể nhận được
nghiệm. Ví dụ sau đây sẽ minh họa công việc đó.
Xét hệ dao động khối lượng – lò xo –cản nhớt, được mô tả bằng phương trình vi
phân
( )
( )
mx
bx
cx
u t
u t
α
+
+
=
+
ɺɺ
ɺ
ɺ
Trước hết sử dụng biến đổi Laplace hai vế
{
}
{ ( )
( )}
mx
bx
cx
u t
u t
α
+
+
=
+
ɺɺ
ɺ
ɺ
ℓ
ℓ
ta nhận được
2
[
( )
(0)
(0)]
[
( )
(0)]
( )
( )
[
( )
(0)]
m s X s
sx
x
b sX s
x
cX s
U s
sU s
u
α
−
−
+
−
+
=
+
−
ɺ
Từ đây giải được
2
2
[1
]
(0)
(0)
(0)
(0)
( )
( )
[
]
[
]
s
u
msx
mx
bx
X s
U s
ms
bs
c
ms
bs
c
α
α
+
+
+
+
=
−
+
+
+
+
ɺ
Thay các thông số của hệ
1,
1.2,
1
m
b
c
=
=
=
và với điều kiện đầu
(0)
0,
x
=
(0)
0
x
=
ɺ
vào công thức ta có
2
2
[1
]
(0)
( )
( )
1.2
1
1.2
1
s
u
X s
U s
s
s
s
s
α
α
+
=
−
+
+
+
+
.
Sau đây ta sẽ tìm hàm gốc
( )
x t từ hàm ảnh
( )
X s và vẽ các đồ thị hàm này với các
thông số khác nhau của
,
α
0, 2, 5
α =
. Cho biết hàm kích động
( )
u t là hàm
bước nhảy đơn vị hay còn gọi là hàm Heaviside
0
0
( )
1
0
t
u t
t
<
=
≤
hay
( )
heaviside( )
u t
t
=
.
Hàm này được vẽ với dòng lệnh
>> ezplot(heaviside(t), [-2, 10]), grid on
>> laplace(heaviside(t))
ans = 1/s
và như vậy
2
1
1
( )
1.2
1
s
X s
s
s
s
α
+
=
+
+
, với
(0)
0
u
=
.
