44
Cách mà ta vừa sử dụng để nhận được nghiệm cỉa hệ phương trình đại số tuyến
tính, chỉ áp dụng được khi ma trận hệ số là vuông và không suy biến. Trong hệ này
ta thấy số phương trình bằng số ẩn cần tìm. Trường hợp số phương trình ít hơn số
ẩn ta gọi là hệ hụt (thiếu) phương trình (underdetermined). Khi đó hệ phương trình
có thể có vô số nghiệm thỏa mãn. Bởi vì ta chỉ có thể xác định được một số biến
trong các ẩn đó, số còn lại có thể nhận các giá trị tùy ý. Ví dụ như hệ hai phương
trình dưới đây với ba ẩn
2
3
5
0
x
y
z
y
z
+
−
=
+
=
Sau khi biến đổi ta nhận được
3
7
5
x
y
z
y
=
−
= −
Giá trị của hai biến
x
và
z
phụ thuộc vào biến
y
. Với mỗi giá trị của
y
ta sẽ nhận
được các giá trị tương ứng của
x
và
z
. Hệ có vô số nghiệm.
Nếu viết hệ trên ở dạng ma trận
=
Ax
b
với
1 2
1
3
0 5
1 ,
0
0 0
0
0
−
=
=
A
b
Ta thấy ngay
det( )
0
=
A
. Để biết được nghiệm của hệ này có tồn tại không ta cần
so sánh hạng của ma trận A và ma trận mở rộng C = [A b], nếu chúng bằng nhau
thì tồn tại nghiệm, và có thể sử dụng phép chia trái. Ví dụ cần giải hệ phương trình
3
2
7
4
2
x
y
z
y
z
+
−
=
+
=
ta thực hiện:
>> A= [3 2 -1; 0 4 1]; b = [7;2];
>> C = [A b]
C =
3 2 -1 7
0 4 1 2
>> rank(A)
ans = 2
>> rank(C)
ans = 2
>> x=A\b
x =
2.0000
0.5000
0
