46
>> x=K\b*0.5
x =
0
-0.5000
0.6667
Trị riêng và véctơ riêng của ma trận vuông
Cho A là một ma trận vuông cấp
n
. Số λ được gọi là trị riêng và véctơ khác không
x là véctơ riêng của A nếu chúng thoả mãn điều kiện :
λ
=
Ax
x
hay
(
)
λ
−
=
A
E x
0
với E là ma trận đơn vị.
Với mỗi giá trị λ
i
, ta sẽ có vô số các véctơ x
i
thoả mãn. Các véctơ riêng cùng
tương ứng với một λ
i
rõ ràng là phụ thuộc tuyến tính và chỉ khác nhau một hằng số
α. Do đó ta có thể chọn một véctơ duy nhất làm cơ sở (ví dụ được chuẩn hoá theo
chuẩn Euclide để có chuẩn bằng 1...). Tập hợp n véctơ riêng ứng với n trị riêng
khác nhau tạo thành một hệ véctơ độc lập tuyến tính. Ma trận gồm các cột là các
véctơ riêng của ma trận A gọi là ma trận dạng riêng của A (Modal matrix).
Nếu có hai ma trận vuông A và B cùng cấp
n
. Số λ và véctơ khác không x thoả
mãn điều kiện :
= λ
Ax
Bx
hay
(
)
0
− λ
=
A
B x
thì số λ gọi là trị riêng suy rộng của hai ma trận A và B, véctơ
x
là véctơ riêng
tương ứng.
Việc tìm trị riêng và véctơ riêng trong Matlab được thực hiện bằng lệnh eig():
Lệnh eig tính toán trị riêng và véctơ riêng của ma trận vuông
l = eig(A);
cho một véctơ l chứa các trị riêng của
ma trận vuông A.
[V, D] = eig(A);
cho ta ma trận chéo D chứa các trị riêng
của A, ma trận V có các cột là các véctơ
riêng của A thỏa mãn AV = VD.
d = eig(A,B);
cho ta véctơ chứa các trị riêng suy rộng
của các ma trận vuông A và B.
[V, D] =eig(A,B);
cho ta ma trận chéo D chứa các trị riêng
suy rộng của hai ma trận A và B, ma trận
V
có các cột là các véctơ riêng thỏa mãn
AV
= BVD.
eig(A,B,'chol')
tương tự như eig(A,B) đối với ma trận
đố
i xứng A và ma trận đối xứng xác định
dương B. Phương pháp tính ở đây dựa trên
khai triển Cholesky ma trận B.
Các ví dụ sau minh họa việc tìm trị riêng và véctơ riêng trong Matlab
