48
U =
0 1 0
0 0 1
1 0 0
Ý nghĩa của phân tích LU có thể thấy trong việc giải hệ
=
Ax
b
. Sau phi phân tích
LU ta nhận được
=
=
Ax
LUx
b
ðặt
=
y
Ux
, suy ra
=
Ly
b
. Như thế thay vì giải hệ
=
Ax
b
, ta giải hai hệ
=
Ly
b
và
=
Ux
y
Do
L
và
U
là các ma trận tam giác nên việc giải hai hệ này khá đơn giản.
Với
L
là ma trận tam giác dưới nên dễ dàng nhận được nghiệm
y
. Sau đó giải tìm
x
. Ví dụ cần giải hệ phương trình
3
2
9
65
9
5
2
16
6
7
3
5
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
−
= −
−
+
+
=
+
+
=
Nhập hệ vào Matlab, phân tích LU và giải tìm nghiệm:
>> A = [3 2 -9; -9 -5 2; 6 7 3]; b = [-65; 16; 5];
>> [L, U] = lu(A)
L =
-0.3333 0.0909 1.0000
1.0000 0 0
-0.6667 1.0000 0
U =
-9.0000 -5.0000 2.0000
0 3.6667 4.3333
0 0 -8.7273
>> x = U\(L\b)
x =
2.0000
-4.0000
7.0000
Phân tích Cholesky
Ma trận vuông A đối xứng xác định dương luôn phân tích được thành tích
T
=
A
L L ,
với
L
là ma trận tam giác dưới.
Ma trận vuông
A
xác định dương nếu thỏa mãn
0,
0
T
>
∀ ≠
x Ax
x
.
