Hầu như tất cả các bài báo thảo luận về “sự đánh giá quá cao” đối với các
rủi ro đuôi của các lựa chọn về bảo hiểm (xem bài báo tổng kết của Barberi,
2003) đều thiếu sự bất bình đẳng trong Định lý 1. Rõ ràng, chúng đều giả
định rằng người đại diện chỉ tồn tại cho một quyết định hoặc sự tiếp xúc đơn
lẻ. Đơn giản, những bài báo đầu tiên ghi nhận “sự thiên kiến” đã giả định
rằng người đại diện sẽ không bao giờ đưa ra một quyết định khác trong phần
đời còn lại của mình.
Giải pháp thường thấy cho sự phụ thuộc lối mòn này – nếu nó chỉ phụ thuộc
vào sự hủy diệt – được thực hiện bằng cách đưa vào một hàm của X để bảo
đảm trung bình tập hợp (độc lập với lối mòn) có chung đặc tính với giá trị
trung bình thời gian (phụ thuộc vào lối mòn) – hoặc giá trị trung bình có
điều kiện đối với sự sống sót. Hàm logarit tự nhiên dường như là một sự lựa
chọn
thích
hợp.
Như
vậy,
thuộc cùng một phân loại xác suất; do đó giá trị đo lường xác suất trên một
lối mòn sẽ không sai khác đối với giá trị đo lường trên lối mòn kia – đây gọi
là tính ergodic. Theo cách này, khi phân tích thành quả và rủi ro dưới các
điều kiện của sự hủy diệt, cần phải chuyển dạng dữ liệu bằng hàm logarit
(Peters, 2011), hoặc giới hạn cận của phần đuôi trái (Kelly 1956), trong khi
vẫn tăng tối đa cơ hội cho phần đuôi phải (Gell-mann 2016), hay giới hạn
cận của phần đuôi trái (Geman và cộng sự, 2015).
Ta vừa chứng minh ở trên là trừ khi thực hiện chuyển dạng dữ liệu theo hàm
logarit (hoặc một hàm trơn để tạo ra giá trị -∞ với tập hủy diệt ở X = 0), cả
hai kỳ vọng sẽ phân kỳ. Điểm mấu chốt của nguyên tắc cảnh báo là tránh lệ
thuộc vào hàm logarit hay chuyển dạng dữ liệu bằng cách làm giảm xác suất
hủy diệt.
Trong một bài báo có ảnh hưởng, Peters và Gell-Mann (2014) đã chỉ ra rằng
Bernoulli không sử dụng hàm logarit cho một hàm “thỏa dụng” lõm, mà để
