Tiếp theo, ta sẽ xét đến cái gọi là thất bại của tính ergodic:
Định lý 1 (sự bất bình đẳng về không gian trạng thái-thời gian): Giả định
rằng
là kỳ vọng về không gian trạng thái cho một khoảng thời gian tĩnh ban đầu t,
và EN(XT) là kỳ vọng thời gian cho bất cứ người đại diện i nào, và cả hai
giá trị này đều thu được thông qua luật số lớn yếu. Ta có:
Chứng minh:
trong đó 1Xt-1>0 là hàm đặc trưng đòi hỏi cho sự sống sót tại khoảng thời
gian trước đó. Như vậy, giới hạn của n cho t cho thấy sự suy giảm kỳ vọng
về
thời
gian:
