Theo Mario Livio, nếu chỉ đơn giản hỏi toán học là được phát minh hay phát
hiện, chúng ta bỏ quên khả năng của một câu trả lời phức tạp: cả sáng tác và
khám phá đóng một vai trò quan trọng. Cả hai giải thích tại sao toán học thao
tác quá tốt đẹp. Tuy nhiên, loại bỏ phép nhị phân giữa sáng tác và khám phá
cũng chưa hoàn toàn giải thích tính hữu hiệu bất hợp lý của toán học.
2.2.4a Sáng tạo và Khám phá.
Toán học theo hai phương thức hữu hiệu bất hợp lý, một là tích cực, hai là
tiêu cực. Đôi khi các nhà khoa học sáng tạo những phương pháp chỉ nhằm để
định lượng các hiện tượng trong thực thế giới. Chẳng hạn, Isaac Newton thiết
chế toán vi tích phân (calculus) với mục tiêu nắm bắt chuyển động và biến
chuyển, phân chúng thành những chuỗi từng khung một vô cùng bé. Lẽ cố
nhiên, các thiết chế tích cực như vậy đều hữu hiệu; chung cùng, các công cụ
đều thiết chế theo lệnh. Tuy vậy, đáng ngạc nhiên là trong một số trường hợp,
tính chính xác của chúng thật phi thường. Ví dụ: điện động lực học lượng tử
(quantum electrodynamics) là thuyết toán học được khai triển để mô tả ánh
sáng và vật chất tương tác như thế nào. Khi các nhà khoa học dùng nó để tính
mômen từ của electron, trị lý thuyết phù hợp với trị thực nghiệm mới nhất
trong vòng một vài phần nghìn tỷ!
Đáng kinh ngạc hơn, có lẽ, đôi khi các nhà toán học khai triển toàn thể lãnh
vực nghiên cứu chẳng có ý niệm ứng dụng, nhưng sau đó hàng chục năm, thậm
chí nhiều thế kỷ, các nhà vật lý học đương thời khám phá những ngành toán đó
giải thích các quan sát của họ. Có rất nhiều ví dụ về phương thức hữu hiệu tiêu
cực như thế. Évariste Galois, chẳng hạn, khai triển thuyết nhóm đầu những
năm 1800 chỉ với mục đích duy nhất để xác định khả năng giải quyết các
phương trình đa thức. Nói rộng ra, nhóm là những cấu trúc đại số cấu thành bởi
những tập hợp đối tượng (chẳng hạn, các số nguyên) thống nhất dưới một số
thao tác (ví dụ: phép cộng) tuân theo các quy tắc cụ thể [trong số đó, sự tồn tại
của một phần tử đơn vị (identity element) như 0 (zero), khi cộng với bất kỳ số
nguyên nào kết quả là số nguyên đó]. Trong vật lý học thế kỷ 20, lãnh vực trừu
tượng đó biến thành phương thức hiệu quả nhất để phân loại các hạt cơ bản -
những khối xây dựng của vật chất. Vào những năm 1960, hai nhà vật lý học,
Murray Gell-Mann và Yuval Ne’eman, độc lập với nhau, chứng minh một
nhóm cụ thể, gọi là SU(3), phản ánh cách vận hành của các hạt bên trong
