nguyên tử gọi là hadrons - một kết nối cuối cùng đặt cơ sở cho thuyết hiện đại
về sự kết hợp các hạt nhân nguyên tử.
Sự nghiên cứu các nút (knots) là một ví dụ hay khác của tính hữu hiệu tiêu
cực. Nút toán học chỉ khác nút thường ngày ở chỗ chúng không có đầu lỏng
lẻo. Trong nhiều thập niên các nhà toán học không ngừng nghiên cứu các nút
như một ngành toán học nghĩa lý súc tích sâu xa. Đáng ngạc nhiên, hiện giờ
thuyết các nút cung cấp các kiến giải quan trọng về huyền thuyết (string
theory) và trọng lực lượng tử tuần hoàn (loop quantum gravity) - những nỗ lực
đương tiền tối hảo để diễn đạt một thuyết không-thời gian hòa hợp cơ học
lượng tử và thuyết tương đối rộng. Cũng giống vậy, những khám phá của nhà
toán học Hardy trong thuyết các số đến trước lãnh vực mật mã học
(cryptography) của quân đội, mặc dầu Hardy tuyên bố trước đó “chưa ai khám
phá được bất cứ mục đích chiến tranh nào nhằm sử dụng thuyết các số.” Và
năm 1854, Bernhard Riemann mô tả các hình học phi-Euclid - các không gian
lạ kỳ trong đó các đường song song hội tụ hay phân kỳ. Hơn nửa thế kỷ sau,
Einstein viện dẫn những hình học đó để thiết lập thuyết tương đối rộng của
ông.
Một mẫu hình xuất hiện: con người phát minh những khái niệm bằng cách
trừu tượng các yếu tố từ thế giới chung quanh - các hình dạng, tuyến, tập hợp,
nhóm, và V..V... - hoặc cho một mục đích riêng nào đó hay đơn giản, cho vui.
Sau đó, tiếp tục khám phá những kết nối trong số các khái niệm đó. Tại vì
những phát minh và phát hiện là do người thực hiện - không giống loại phát
minh chủ trương bởi phái Plato - toán học của chúng ta cuối cùng đặt cơ sở
trên những nhận thức của chúng ta và trên những hình ảnh tâm thức chúng ta
có thể gợi lên. Chẳng hạn, chúng ta có tài năng bẩm sinh gọi là
“subitizing”,nhận ra số lượng (một nhóm các mục) trong nháy mắt và không
đếm. số lượng tối đa của các mục được nhận ra tức thời là vào khoảng năm.
Chúng ta rất giỏi cảm tri biên duyên của các đối tượng riêng lẻ và phân biệt
giữa đường thẳng và cong và giữa các hình dạng khác nhau như vòng tròn và
elip - những khả năng khả dĩ dẫn đến sự khai triển số học và hình học. Cũng
như thế, kinh nghiệm lặp lại về nhân và quả ít nhất phần nào đóng góp vào
việc sáng tạo lôgic cùng với ý tưởng một số phát biểu bao hàm tính hợp lý
(validity) của những phát biểu khác.
