chẳng hạn như tâm lý tường tế của quần chúng. Giá trị dự đoán của bất kỳ học
thuyết nào tùy thuộc tính bất biến (constancy) của các quan hệ cơ bản giữa các
biến lượng. Những phân tích của chúng ta không nắm bắt hoàn toàn các hệ
thống phát triển sự hỗn loạn, trong đó những biến đổi nhỏ nhất trong điều kiện
ban đầu có thể sản sinh các kết quả cuối cùng hoàn toàn khác biệt, cấm cản bất
kỳ dự đoán dài hạn nào. Các nhà toán học thiết chế các môn thống kê và xác
suất để đối phó với những thiếu sót như vậy, nhưng bản thân toán học là hữu
hạn, như Gởdel đã chứng minh.
2.2.4c Tính đối xứng của Tự nhiên.
Sự chọn lựa cẩn thận các vấn đề và giải pháp chỉ phần nào giải thích sự
thành công của toán học trong sự mô tả các luật của tự nhiên. Những luật như
vậy trước hết phải tồn tại! Với các nhà toán học cũng như vật lý học, những
luật phổ biến tuồng như chi phối vũ trụ của chúng ta: một nguyên tử cách xa
12 tỷ quang niên vận hành giống như một nguyên tử trên trái đất; ánh sáng
trong quá khứ xa xôi và ánh sáng ngày nay chia sẻ những đặc điểm giống
nhau; và các lực hấp dẫn hình thành những cấu trúc ban đầu của vũ trụ vẫn ngự
trị trên các thiên hà ngày nay. Các nhà toán học và vật lý học phát minh khái
niệm đối xứng để mô tả loại miễn biến đổi đó.
Các luật vật lý học tuồng như hiển thị tính đối xứng đối với không gian và
thời gian: chúng không tùy thuộc nơi chốn, góc độ, hay lúc nào chúng ta xét
xem chúng. Chúng bình đẳng, bất nhị đối với tất cả các quan sát viên, không
phân biệt các quan sát viên ấy đứng yên, chuyển động với tốc độ không đổi
hay tăng tốc. Do đó, các kết quả của chúng ta được giải thích bởi cùng luật dẫu
các thí nghiệm xảy ra ở Trung Quốc, Việt Nam hay ở thiên hà Andromeda, và
dẫu chúng ta tiến hành thí nghiệm ngày hôm nay hay có ai đó thực hành thí
nghiệm một tỷ năm sau. Nếu vũ trụ không sở hữu những đối xứng đó, mọi mô
hình toán học thiết lập căn cứ trên những quan sát của chúng ta sẽ xem như
không có, tại vì chúng ta sẽ không ngừng lặp lại những thí nghiệm tại mọi
điểm trong không gian và thời gian.
Chúng ta khởi đầu với hai câu hỏi cơ bản, hỗ tương quan hệ: toán học được
phát minh hay phát hiện? Và những gì đã cấp cho toán học những quyền năng
giải thích và dự đoán? Giải đáp câu hỏi đầu, toán học thực sự là một kết hợp
phức tạp các phát minh và phát hiện. Các khái niệm, nói chung, đều được sáng
