được biểu hiện dưới một hình thức chẳng có bất kỳ hành lý nào của con người
như “hạt”, “quan sát” hay các từ khác.
Ngược lại, tất cả những học thuyết vật lý học giảng dạy ở trường đều có hai
thành phần: những phương trình toán học và những từ giải thích làm thế nào
các phương trình được kết nối với những gì chúng ta quan sát và trực quan
hiếu biết. Mỗi lần phái sinh những hậu quả của một lý thuyết, chúng ta thêm
vào những khái niệm mới - protons, molecules, stars - tại vì chúng tiện lợi. Tuy
nhiên, cần phải nhớ chính những con người như chúng ta sáng tạo những khái
niệm như vậy; trên nguyên tắc, mọi sự vật có thể được tính chẳng cần hành lý
ấy. Ví dụ: một siêu máy tính đủ năng lực cần thiết có thể tính làm thế nào trạng
thái của vũ trụ phát triển theo thời gian mà chẳng cần thông diễn những gì xảy
ra theo phương thức con người tư lượng.
Tất cả những điều nói trên đặt ra câu hỏi: có thế nào tìm được một sự mô tả
thực tế ngoại tại chẳng liên quan tới hành lý? Nếu có thể, một mô tả như vậy
các đối tượng trong thực tế ngoại tại ấy và những quan hệ giữa chúng sẽ phải
hoàn toàn trừu tượng, buộc mọi từ hay ký hiệu phải chỉ là những nhãn hiệu
chẳng mang ý nghĩa tiên đoán nào. Nói cho đúng, các thuộc tính duy nhất của
các thực thể ấy sẽ là những gì được thể hiện bởi các quan hệ giữa chúng.
Đúng là nơi toán học tiến nhập. Với một nhà lôgic học hiện đại, một cấu trúc
toán học là một tập hợp các thực thể trừu tượng với những quan hệ giữa chúng.
Ví dụ: các số nguyên, hay các đối tượng hình học như khối mười hai mặt
(dodecahedron), một yêu thích của những người thuộc phái Pythagoras. Thật
hoàn toàn trái ngược với thứ toán học ở Trung học mà chúng ta từng kinh
nghiệm như một hình thức trừng phạt ngược đãi, hay như một túi thủ thuật để
thao tác số. Giống như vật lý học, toán học phát triển để đặt những câu hỏi
rộng hơn.
Toán học hiện đại là sự nghiên cứu chính thức các cấu trúc khả dĩ được định
nghĩa theo một phương thức thuần túy trừu tượng. Tư lượng về các ký hiệu
toán học như những nhãn hiệu đơn thuần chẳng có ý nghĩa cố hữu. Bất luận
bạn viết “hai cộng hai bằng bốn”, “2 + 2 = 4”, hay “two plus two equals four”,
điều đó không quan trọng. Phép biểu thị dùng để chỉ các thực thể và các quan
hệ là không thích đáng; các thuộc tính duy nhất của số nguyên là những gì thể
