họ sử dụng kết hợp các đường bóng nhanh, bóng xoáy và bóng cong
trong một lượt ném quan trọng. Nhưng phải chăng lúc nào họ cũng
thực hiện được với tỷ lệ hợp lý? Có rất nhiều cách hoán vị, nhưng
Von Neumann đã chứng minh rằng luôn có một lựa chọn tối ưu. Ta
không cần ngẫu nhiên kết hợp các kiểu ném bóng theo tỷ lệ cân
bằng, vì một số đường ném sẽ có lợi hơn những đường khác. Chẳng
hạn, cầu thủ A có đường bóng nhanh và mạnh hơn của người khác
nên sẽ ít có khả năng bị đánh trúng hơn. Tuy nhiên, nếu anh ta lúc
nào cũng dùng đường bóng này thì nó sẽ rất dễ bị “bắt bài”, do đó
dễ bị đánh trúng hơn; như vậy, anh ta nên kết hợp sử dụng cả các
đường bóng mà anh ném kém hơn. Thuật toán của Von Neumann cho
phép chúng ta dự đoán được các cách kết hợp chính xác, nhưng tôi
vẫn chưa thấy đội bóng chày nào tận dụng được điều này.
Trong thể thao, lĩnh vực mà toán học được so sánh với trực giác,
người ta đã phát hiện ra rằng trực giác sẽ cho các kết quả tương
đồng với nguyên tắc Minimax. Điển hình như môn bóng đá. Nhà
kinh tế học Ignacio Palacio-Huerta của Đại học Brown, một cổ động
viên bóng đá nhiệt tình, đã theo dõi trên một nghìn cú đá phạt đền
trên các sân bóng chuyên nghiệp ở Anh, Tây Ban Nha, Ý và phân tích
chúng dưới góc độ một trò chơi có tổng bằng 0 dành cho hai người.
Cả thủ môn và cầu thủ sút bóng đều phải quyết định xem nên sút
bóng về phía nào hay nên bay người về phía nào tương ứng, mỗi
người đều thuận một phía riêng. Nếu cả hai không biết đối
phương định làm gì, thì mỗi người nên chọn cách nào có thể tận dụng
được sở trường của mình. Nhưng không ai có thể chọn theo sở trường
của mình mọi lúc, bởi người còn lại sẽ nhanh chóng phát hiện ra đối
phương định làm gì sau khi nghiên cứu từ các trận đấu trước, rồi từ
đó phản ứng theo.
Theo thuật ngữ của lý thuyết trò chơi, mỗi cầu thủ phải kết hợp
các chiến lược của mình để tối đa hóa kết quả dự kiến (đối với
