CHỐNG DUHRING - Trang 146

giữa năng lực nhận thức vô tận ở bên trong của con người với sự tồn tại
thực tế của năng lực ấy trong những con người bị hạn chế bởi hoàn cảnh
bên ngoài và đang nhận thức một cách hạn chế, - thì mâu thuẫn này được
giải quyết trong sự nối tiếp nhau của các thế hệ, trên thực tiễn sự nối tiếp
này ít ra cũng là vô tận, đối với chúng ta và được giải quyết trong sự tiến bộ
vô tận[41].
Chúng ta đã nói rằng một trong những cơ sở chính của toán học cao cấp là
cái mâu thuẫn bao hàm ở chỗ, trong một số trường hợp nào đó thì thẳng và
cong phải giống nhau. Toán học cao cấp lại còn có một mâu thuẫn khác
nữa, tức là trước mắt chúng ta những đường cắt nhau, những chỉ cách điểm
cắt nhau 5 hay 6 xăng-ti-mét thôi, những đường đó đã phải được coi là
những đường song hành, tức là được coi như những đường mà dù có kéo
dài vô tận cũng vẫn không thể nào cắt nhau được. Tuy vậy, với những mâu
thuẫn này và với những mâu thuẫn khác còn gay gắt hơn nhiều, toán học
cao cấp đã đi tới những kết quả chẳng những đúng, mà đối với toán học sơ
cấp thì lại còn hoàn toàn không thể nào đạt được.
Nhưng ngay toán học sơ cấp cũng đầy rẫy những mâu thuẫn. Ví dụ, một
mâu thuẫn là : một số căn của A phải là một luỹ thừa của A, tuy vậy A1/2
= . Một mâu thuẫn nữa là: một số âm phải là bình phương của một cái gì
đó, bởi vì bất cứ một số âm nào tự nhân với nó, cũng đều đem lại một bình
phương dương. Vì vậy, số căn bậc hai của -1 không những là một mâu
thuẫn, mà còn là một mâu thuẫn vô lý, một điều vô nghĩa thực sự. Thế
nhưng trong nhiều trường hợp, là kết quả tất yếu của những phép tính
chính xác trong toán học; hơn nữa, nếu cần làm tính với thì toán học, cả sơ
cấp lẫn cao cấp, sẽ ra sao?
Khi nghiên cứu về những số biến, bản thân toán học đã bước vào lĩnh vực
của biện chứng rồi, và một điều đáng chú ý là chính một nhà triết học biện
chứng, Descartes, đã đưa bước tiến bộ đó vào khoa học. Quan hệ giữa toán
học về số biến với toán học về số bất biến như thế nào thì quan hệ giữa tư
duy biện chứng với tư duy siêu hình nói chung cũng như thế. Nhưng điều
này vẫn hoàn toàn không ngăn cản cái tình hình là số đông các nhà toán
học chỉ thừa nhận biện chứng ở trong lĩnh vực toán học mà thôi, và có khá