CHỐNG DUHRING - Trang 43

tuý, lý tính chỉ dụng chạm đến những sản vật mà bản thân nó đã sáng tạo và
tưởng tượng ra. Những khái niệm về số và hình không thể rút ra từ đâu
khác, mà chỉ là từ thế giới hiện thực mà thôi. Mười ngón tay mà người ta
dùng để tập đếm nghĩa là để làm bài toán số học đầu tiên, có thể là bất cứ
cái gì cũng được, nhưng không chỉ là một sự tạo tự do của lý tính. Muốn
đếm, chẳng những cần phải có những đối tượng có thể đếm được mà cũng
đã cần phải có cái lực là khi khảo sát những đối tượng đó, gạt bỏ được tất
cả những thuộc tính khác của chúng trừ số lượng của chúng - và năng lực
này là kết quả của một sự phát triển lịch sử lâu dài, dựa trên kinh nghiệm.
Giống như khái niệm về số, khái niệm về hình cũng là hoàn toàn mượn của
thế giới bên ngoài chứ không phải nảy sinh ra trong óc từ việc tư duy thuần
tuý. Phải có những vật có hình và người ta phải đem so sánh các hình của
những vật ấy, trước khi có thể đi đến một khái niệm về hình. Đối tượng của
toán học thuần tuý là những hình thức không gian và những quan hệ số
lượng của thế giới hiện thực, tức là một chất liệu rất hiện thực. Việc chất
liệu này xuất hiện dưới một hình thức hết sức trừu tượng, việc đó chỉ có thể
che đậy một cách yếu ớt nguồn gốc của nó từ thế giới bên ngoài. Nhưng để
có thể nghiên cứu những hình thức và quan hệ ấy trong trạng thái thuần tuý
của chúng thì phải hoàn toàn tách chúng ra khỏi nội dung của chúng, gạt
nội dung ấy ra coi như là một cái gì không quan trọng; làm như vậy, ta có
được những điểm không có kích thước, những đường không có chiều dày
và chiều rộng, những a và b, x và y, những hằng số và những biến số và chỉ
sau rốt người ta mới đi đến những sáng tạo tự do và những tưởng tượng tự
do của bản thân lý tính, tức là những số ảo. Ngay cả việc dẫn xuất một đại
lượng toán học này từ một đại lượng khác, dường như là tiên nghiệm, cũng
không chứng minh nguồn gốc tiên nghiệm của chúng, mà chỉ chứng minh
mối liên hệ hợp lý giữa chúng với nhau mà thôi. Trước khi đi đến các quan
niệm rút ra hình trụ từ việc quay tròn của một hình chữ nhật xung quanh
một cạnh của nó, thì người ta đã phải nghiên cứu một số hình chữ nhật và
hình trụ hiện thực, dù là dưới những hình thức rất không hoàn thiện. Cũng
như tất cả các khoa học khác, toán học sinh ra từ những nhu cầu thực tiễn
của con người: Từ việc đo diện tích các khoảnh đất và việc lường dung tích