biệt dựa trên các đặc tính hội tụ của moment bao gồm (1) Có một giá
compact nhưng không suy biến, (2) Phân phối dưới Gauss, (3) Phân phối
Gauss, (4) Phân phối dưới mũ, (5) Phân phối luật lũy thừa với số mũ lớn
hơn 3, (6) Phân phối luật lũy thừa với số mũ lớn hơn 2 nhưng bé hơn hoặc
bằng 3, (7) Phân phối luật lũy thừa với số mũ bé hơn hoặc bằng 2. Đặc biệt,
các phân phối luật lũy thừa có một giá trị trung bình có hạn chỉ khi số mũ
lớn hơn 1, và có một phương sai có hạn chỉ khi số mũ lớn hơn 2.
Mối quan tâm của chúng ta là phân biệt giữa các trường hợp trong đó các sự
kiện đuôi là tác động chính, khi một định nghĩa chính thức về ranh giới giữa
các phân nhóm phân phối này được coi là Mediocristan và Extremistan.
Ranh giới tự nhiên giữa chúng xuất hiện ở những phân phối dưới mũ, và có
đặc tính sau đây:
Coi
là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và đồng nhất phân phối với các giá
thuộc(R+)với hàm phân phối tích lũy là F. Phân loại phân phối dưới mũ
được định nghĩa như sau (xem Teugels, 1975, Pitman 1980):
