giữa những khái niệm cụ thể cơ sở của vật lý học thực nghiệm, tất nhiên chúng
ta phải nương vào những khái niệm trừu tượng của toán học. Vì cả cái cụ thể
và cái trừu tượng cùng được xây dựng trên cùng cái nguyên thủy, điều đó phá
bỏ tính chất thần bí của sự thành công phi thường của toán học trong vật lý
học.
Theo các nhà khoa học, toán học quả có một năng lực phi thường. Xét kỹ,
chúng ta thấy sự thành công của toán học trong việc giải thích thế giới quanh
chúng ta hiện có hai diện, một diện gọi là “tích cực”. Khi các nhà vật lý học lạc
đường đi vào mê cung của tự nhiên, họ dùng phương thức toán học dê rọi sáng
bước di của họ. Newton quan sát một quả táo rơi, mặt trăng và thủy triều trên
bãi biển, chẳng phải là những phương trình toán học. Thế mà ông ta bằng cách
nào đó có thể trích ra từ tất cả những hiện tượng tự nhiên ấy những định luật
toán học của tự nhiên minh bạch, ngắn gọn, và chính xác đến mức khó tin.
Tương tự như vậy, •lames Clerk Maxwell (1831-79) mở rộng cái khuôn khổ
vật lý học cổ điển để bao hàm tất cả những hiện tượng điện và từ được biết đến
vào những năm 1980. Ông thực hiện điều đó thông qua chỉ bốn phương trình
toán học. Thuyết tương đối rộng của Einstein thậm chí đáng kinh ngạc hơn: đó
là một ví dụ hoàn hảo của một thuyết toán học chính xác phi thường, tự hợp,
về cái gì đó cơ bản như cấu trúc không gian và thời gian.
Diện thứ hai, diện “tiêu cực”, là diện của tính hiệu dụng huyền bí của toán
học. Khái niệm và quan hệ được các nhà toán học tham tác chỉ trên phương
diện lý tính thuần túy, tuyệt đối chẳng nghĩ đến ứng dụng, biến thành sau nhiều
thập niên (hay đôi khi nhiều thế kỷ) những giải pháp bất ngờ cho những vấn đề
đặt cơ sở trong thực tế vật lý! Chẳng hạn, lấy trường hợp nhà toán học khác
thường người Anh, Godfrey Harold Hardy (1877-1947), rất tự hào về sự thật là
công việc của ông bao gồm không có gì ngoại trừ toán học thuần túy. Ông
tưởng rằng toán học của ông thuần túy lý thuyết, chẳng phải và không thể đem
ứng dụng, mà chỉ để thưởng thức cái đẹp của nó. Nhưng ông sai rồi! Một trong
các công trình của ông tái sinh với danh hiệu định luật Hardy-Weinberg, một
nguyên lý cơ bản được các nhà di truyền học sử dụng để nghiên cứu tiến trình
phát triển của dân số. Ngay cả thuyết trừu tượng về các số (Number theory)
của ông đã được nhà toán học người Anh, Clifford Cocks, sử dụng để sáng tạo
một bước đột phá trong mật mã (cryptography): sự phát triển của mã (the
