development of code). Các mã là rất cần thiết cho truyền thông quân sự, hoàn
toàn không đúng với phát biểu của Hardy: “chưa ai khám phá được bất cứ mục
đích chiến tranh nào do lý thuyết số phục vụ.” Như vậy, ngay cả Hardy, một
trong các nhà phê bình lớn tiếng chỉ trích toán học ứng dụng, cũng bị kéo vào
sự sản sinh các thuyết toán học hữu dụng.
Còn rất nhiều trường hợp toán học như vậy, ngỡ là chỉ lý thuyết thuần túy
đâu ngờ một thời gian về sau biến thành công cụ cần thiết để giải thích những
khám phá hay sáng tạo mới. Ví dụ: hình học Riemann, thuyết Nhóm, khái
niệm những mẫu hình toán học đổi xứng, V..V...
Do kinh nghiệm với hình học Euclid, chúng ta có thể khởi đầu từ bất kỳ tập
hợp tiên đề nào tùy thích, với điều kiện là chúng nhất trí tự bản thân và dung
nạp lẫn nhau, và tìm ra những hậu quả lôgic của chúng. Theo phương thức đó,
chúng ta sáng tạo một ngành toán học. Các định nghĩa và định đề chủ yếu
chẳng phải được mang lại bằng kinh nghiệm, cũng chẳng phải là tất yếu của tư
tưởng. Nhà toán học hoàn toàn tự do, trong giới hạn của trí tưởng tượng của
mình, dựng lập những thế giới mình thích. Những gì nhà toán học phải tưởng
tượng là một vấn đề của tính khí bất thường của mình. Bằng cách ấy, nhà toán
học không khám phá những nguyên tắc cơ bản của vũ trụ, cũng không trở
thành quen biết những ý niệm về Thượng Đế. Nếu thông qua thực nghiệm, ông
ta tìm ra những tập hợp thực thể tuân theo cùng chung phương án lôgic như
những thực thể toán học của ông, nhiên hậu ông đã áp dụng toán học của ông
vào thế giới bên ngoài: ông đã sáng tạo một ngành khoa học. Tại sao thế giới
bên ngoài phải tuân theo những định luật lôgic, tại sao, trong thực tế, khoa học
khả thể, khoa học có thể được, đó là hai câu hỏi không dễ gì giải đáp. Tuy
nhiên, có dấu hiệu trong những thuyết vật lý học hiện đại khiến một số khoa
học gia nghi ngờ liệu vũ trụ cuối cùng sẽ biến thành lý tính hay không, liệu các
hiện tượng tự nhiên phải tuân theo bất kỳ hình học đặc biệt nào không.
Vì toán học là một hoạt động hoàn toàn tự do như nói trên, không bị điều
kiện bởi thế giới bên ngoài, nên được gọi là một nghệ thuật thay vì một khoa
học. Toán học, phần lớn, là một cam kết tập thể. Đơn giản hóa và thống nhất
hóa duy trì sự cân bằng với sự phát triển và mở rộng không ngừng nghỉ. Chúng
hiển thị bất đoạn một sự thống nhất phi thường mặc dầu toán học quá rộng để
bị một cá nhân khống chế.
