duyên cớ của “sự công hiệu bất hợp lý của toán học trong vật lý học” (the
unreasonable effícacy of mathematics in physics)
5
.
Trừu tượng từ đếm, hình dạng, mẫu hình, và không gian- thời gian-biến
chuyển, toán học nhận được những thực thể cơ bản chưa định nghĩa như các số
tự nhiên, điểm và tuyến. Bằng cách cho định nghĩa/tiên đề cùng với những
phép toán và quan hệ giữa chúng, tiếp theo là tổng quát hóa, các nhà toán học
phát triển những chủ đề cổ điển về lý thuyết số, đại số học, hình học và giải
tích. Một chương trình nỗ lực khuếch đại sự thống nhất thông qua những phát
triển như là hình học đại số, thuyết số đại số và hình học số học hiện đang diễn
tiến.
Ví dụ nổi bật nhất về trừu tượng toán học và tổng quát hóa, và động cơ thúc
đẩy như thế nào có lẽ đến từ sự phát triển hệ thống số. Suốt nhiều thế kỷ, các
nhà toán học cố gắng tìm hiểu những gì hiện giờ đang được giảng dạy tại các
trường Trung học. Duyên cớ của các số tự nhiên là những đối tượng trong thế
giới vật lý, nhưng tự kỷ trừu tượng rất nhanh thành những thực thể, chẳng cần
tham chiếu những đối tượng vật lý. Các định luật cơ bản của số học (tính giao
hoán, tính kết hợp, tính phân bố) chi phối cách cộng và nhân các số. Sự tiến
dẫn số zero và phép trừ, cùng với hệ thống ký hiệu (notational System) Ấn độ
để biểu tượng các số nguyên, và nguyên lý quy nạp toán học đánh dấu tiến bộ
quan trọng.
Thế giới hấp dẫn và đẹp của các số nguyên tố bao gồm chứng minh quan
trọng định lý số nguyên tố, giả thuyết của Goldbach chưa được chứng minh
(mọi số chẵn có thể biểu hiện như một tổng số của hai số nguyên tố), và phát
biểu chưa được chứng minh (có vô số các cặp số nguyên tố p và p+2), định lý
cuối cùng của Fermat chỉ được chứng minh gần đây, công trình của nhiều nhà
toán học xuất sắc trong nhiều thế kỷ, Phân số liên tục, phương trình
Diophantine, và nhiều hơn nữa. Tất cả những sự biến toán học đó khiến chúng
ta tin rằng các số có một cuộc sống riêng của chúng. Nhưng chúng sống ở đâu?
Sau đây, chúng ta sẽ tìm cách giải thích, mặc dầu xuất hiện như biểu tượng,
chúng sống trong não con người, và không nơi nào khác.
Các số nguyên âm được tiến dẫn nhằm cho phép trừ một số lớn hơn từ một
số nhỏ hơn có ý nghĩa. Các số hữu tỷ (rational numbers) được tiến dẫn để cho
phép chia b/a có ý nghĩa đầu số b chẳng phải là một bội số của a. Một lần nữa,
