năm 2005. Khái niệm thứ nguyên được tổng quát hóa như một tính năng của
tôpô. Thứ nguyên (hình thể biến lập) Hausdorff xuất hiện mật thiết trong
thuyết hình thể biến lập (theory of fractals) của Mandelbrot. Trong nghiên cứu
tôpô, một lần nữa, chúng ta thấy sự trừu tượng làm toán học phong phú thêm
như thế nào.
Sự thức biệt mẫu hình, với những kiện nhập từ số học, là cơ sở của đại số
học. Ở đây, các định luật cơ bản của số học được tu chính, phát sinh những
khái niệm về nhóm, trường, vành và lý tưởng. Mỗi một trong chúng tự bản
thân trở thành một ngành toán học. Hình học đại số là hiện đại hóa hình học
giải tích của Descartes nghiên cứu phương trình cho những đường cong và mặt
trong các thứ nguyên cao hơn, sử dụng số phức, dẫn đến định nghĩa các đa
dạng đại số. Serre và Grothendieck đóng góp lớn cho thế kỷ 20. Hình học số
học phối hợp hình học đại số với lý thuyết số. Đây là một trường con của
thuyết số đại số nghiên cứu những cấu trúc đại số liên quan đến các số đại số.
Sự trừu tượng sâu sắc nay được kế tiếp bởi tổng hợp và thống nhất sâu sắc
trong toán học thuần túy.
Phép tính vi tích phân (calculus) đương nhiên là trừu tượng từ quan sát vận
động và biến chuyển, và đến với khái niệm mới về các vô cùng bé. Căn nguyên
nằm trong hai vấn đề: xác định các tiếp tuyến của một đường cong (sự ra đời
của phép tính vi phân) và xác định diện tích bên trong một đường cong (sự ra
đời của phép tính tích phân). Thiên tài của Newton và Leibniz là nhận ra sự nối
kết giữa hai phép tính ấy. Không có gì lạ về phép tính vi tích phân, được phát
minh để hiểu biết chuyển động, cách mệnh hóa cơ học và vật lý học. Khái
niệm toán học và tự nhiên hoàn toàn hòa hợp. Hiện nay các nhà vật lý học sử
dụng phép tính vi tích phân trong công việc của họ có lẽ hơn bất kỳ ngành toán
học nào khác.
Một tính năng thống nhất của toán học hiện nay là có thể hoàn toàn đặt cơ sở
trên một xử lý thuyết tập hợp theo phương thức tiên đề, và phái sinh từ một tập
hợp tiên đề, chẳng hạn ZFC (Zermelo-Fraenkel-Choice). Nhưng tại sao các
tiên đề đặc thù ấy; đặc biệt tại sao Axiom of Choice (Tiên đề Chọn)? Gỏdel chỉ
cho biết nếu ZF nhất trí thời ZFC nhất trí. Một số toán học gia không ưa
Axiom of Choice, nhưng phần đông cho rằng Tiên đề Chọn làm toán học
phong phú hơn. Đối với chúng ta, tự bản thân của những phong cách như vậy
