tổng quát hóa được thực hiện với sự bảo đảm các tiên đề nguyên thủy được
bảo tồn bởi hệ thống rộng hơn, nếu không thời chỉ là một tổng quát hóa vô
dụng. Các số vô tỷ tìm thấy vị trí của chúng trên đường thẳng số như những số
thập phân phi-trùng phức vô hạn (non-repeating infinite decimals). Khái niệm
về giới hạn, chuỗi vô hạn, và Liên tục thực (real continuum) được phát minh
và lợi ích bao la cho vật lý học lý thuyết. Hình học giải tích xuất hiện: mỗi đối
tượng và phép toán hình học có thể ánh xạ tới số. Đen lượt ra mất phân tích
pháp toán học cái vô hạn, tính đếm được (denumerability) của các số hữu tỷ,
tính không đếm được của Liên tục (continuum), bản số của các tập hợp vô hạn,
số siêu hạn, trạng thái bất khả phán định của giả thuyết Liên tục của Cantor
(Chẳng có tập hợp với bản số lớn hơn bản số của tập hợp các số nguyên, nhưng
nhỏ hơn bản số của tập họp các thực số). Ngoài ra còn có thuyết tập hợp phi -
Cantor của Cohen, trong đó giả thuyết Liên tục không đúng. Cho đến nay, khởi
đầu từ cảm tri nguyên thủy phép đếm, chúng ta đã xây dựng nương trên năng
lực của sự tổng quát hóa đầy ý nghĩa. Đen một lãnh vực xa lạ hơn, rất cần tới
thế giới các phức số (vẫn còn tùy thuộc các luật cơ bản của số học) để cấp ý
nghĩa cho lời giải các phương trình bậc hai. Thuyết hàm với một biến số phức
nẩy
nở; tuy nhiên giả thuyết Riemann vẫn còn là bài toán ị tiếng chưa được
giải quyết trong toán học, và sẽ có
những hệ quả
quan trọng cho sự hiểu biết
các số nguyên tố.
Trừu tượng các hình dạng dẫn tới hình học, chẳng ví dụ nào tốt hơn công
trình lịch sử trong Elements của Euclid, nơi mà phương pháp diễn dịch toán
học hiện đại từ các tiên đề lần đầu tiên được trình bày, hơn hai ngàn năm về
trước. Với trừu tượng hơn nữa, chúng ta biết được ngoài hình học Euclid,
phẳng còn thừa nhận một hình học afin (affine geometry), bảo tồn tuyến thẳng
và tuyến song song, nhưng không khoảng cách, và hình học xạ ảnh (projective
geometry) chẳng bảo tồn tính song song. Vứt bỏ định đề thứ năm của Euclid,
các hình học gia phát minh những hình học cong, dọn đường cho công trình
lớn của Riemann về các siêu diện với độ cong tùy ý, và hình học vi phân. Các
không gian với thứ nguyên tùy ý (kể cả vô hạn) được tiến dẫn.
Sự khảo sát các hình dạng độc lập với các thuộc tính metric và xạ ảnh phát
sinh trường của tôpô (topology). Sớm hơn hết là công thức của Euler cho hình
đa diện. Bài toán Bốn Màu chỉ được giải quyết mới đây (1977), sau hàng ngàn
giờ thao tác trên máy vi tính và chứng minh được giản hóa năm 1997 và sau đó
