Diện thứ hai có thể gọi là diện “tiêu cực” của tính hiệu dụng huyền bí của
toán học. So sánh với diện này, diện tích cực hóa ra mờ nhạt. Khái niệm và
quan hệ được các nhà toán học tham tác chỉ trên phương diện lý tính thuần túy,
tuyệt đối chẳng nghĩ đến ứng dụng, biến thành sau nhiều thập niên (hay đôi khi
nhiều thế kỷ) những giải pháp bất ngờ cho những vấn đề đặt cơ sở trong thực
tế vật lý! Làm thế nào điều ấy khả dĩ hiện thực? Chẳng hạn, lấy trường hợp nhà
toán học khác thường người Anh, Godfrey Harold Hardy (1877-1947), rất tự
hào về sự thật là công việc của ông bao gồm không có gì trừ toán học thuần túy
mà ông tuyên bố dứt khoát trong tập sách “A mathematician’s Apology” của
ông: “Không có một khám phá nào của tôi đã gây ra, hay có thể gây ra, trực
tiếp hay gián tiếp, cho tốt hay xấu, dị biệt tối thiểu với tác dụng thú vị của thế
giới.”
7
Hardy tưởng rằng toán học của ông thuần túy lý thuyết, chẳng phải và
không thể đem ứng dụng, mà chỉ để thưởng thức cái đẹp của nó. Nhưng ông
sai rồi! Một trong các công trình của ông tái sinh với danh hiệu định luật
Hardy- Weinberg, một nguyên lý cơ bản được các nhà di truyền học sử dụng
để nghiên cứu tiến trình phát triển của dân số. Ngay cả thuyết trừu tượng về
các số (Number theory) của ông đã được nhà toán học người Anh, Clifford
Cocks, sử dụng để sáng tạo một bước đột phá trong mật mã (cryptography): sự
phát triển của mã (the development of code). Các mã là rất cần thiết cho truyền
thông quân sự, hoàn toàn không đúng với phát biểu của Hardy: “chưa ai khám
phá được bất cứ mục đích chiến tranh nào do lý thuyết số phục vụ.” Như vậy,
ngay cả Hardy, một trong các nhà phê bình lớn tiếng chỉ trích toán học ứng
dụng, cũng bị kéo vào sự sản sinh các thuyết toán học hữu dụng.
Nhưng đó chỉ là đỉnh của tảng băng trôi. Kepler và Newton phát hiện quỹ
đạo của các hành tinh của thái dương hệ có hình elip; là những đường cong
được nhà toán học Hy Lạp Menaechmus (350 BC) nghiên cứu hai ngàn năm về
trước. Các loại hình học mới do Bernhard Riemann (1826-66) tiến dẫn biến
thành công cụ Einstein sử dụng để giải thích cấu trúc vũ trụ. Một “ngôn ngữ”
toán học gọi là thuyết Nhóm (Group theory) do thần đồng trẻ Évariste Galois
(1811-32) khai triển, đơn giản là để xác định tính khả giải của các phương trình
đại số, nhưng hiện nay đã biến thành ngôn ngữ các nhà vật lý học, kỹ sư, các
nhà ngôn ngữ học, và ngay cả các nhà nhân chủng học sử dụng để mô tả tất cả
các đối xứng của thế giới. Hơn nữa, khái niệm những mẫu hình toán học đối
xứng, theo một nghĩa nào đó, biến toàn bộ quá trình khoa học lộn ngược. Qua
