thuật là gia tăng sự tự giác của chúng ta, làm cho chúng ta hiểu rõ hơn về
chúng ta, và vì thế, hiểu rõ hơn vũ trụ trong đó chúng ta đang sống. Và vì toán
học, theo cách riêng của nó, cũng thực hiện chức năng của nghệ thuật, cho nên
chẳng những quyến rũ về mặt mỹ học mà còn có ý nghĩa sâu sắc về mặt khoa
học. Ngoài tính hữu ích của nó trong đời sống thực tế, yêu cầu được yêu
chuộng của toán học căn cứ trên sự thật: Toán học là một nghệ thuật, và một
nghệ thuật vĩ đại.
Toán học được phát triển nguyên là cho mục đích thực tế, như kế toán, đo
lường, và cơ học. Ngay cả những khám phá lớn của thế kỷ XVII như lượng vô
cùng bé và toán tích phân, trước hết là những công cụ chính để giải các bài
toán cơ học, thiên văn học, và vật lý học. Lẽ cố nhiên ngay từ đầu toán học là
một loại ý niệm hóa (idealization), nhưng trong một thời gian dài đã không
được xa ra khỏi thực tế, hay, chính xác hơn, khỏi nhận thức của chúng ta về
thực tế. Khi các nhà toán học đi xa hơn theo hướng ý niệm hóa, họ càng ngày
càng nhận thức được rằng một khái niệm toán học có quyền tồn tại một khi
được định nghĩa một cách nhất trí về mặt lôgic, chẳng cần có một kết nối với
thế giới vật lý, và họ có quyền nghiên cứu nó ngay cả khi tuồng như chẳng có
ứng dụng thực tiễn nào trong tầm tay. Nói vấn tất, điều đó dẫn dần đến “Toán
học thuần túy” (Pure Mathematics) hay “Toán học vì lợi ích riêng của nó”
(Mathematics for Its Own Sake).
Nhưng nếu bỏ qua chức năng kiểm soát của tính thích ứng, tính thích dụng
thực tiễn, thời làm thế nào để phán đoán giá trị? Có chăng những tiêu chuẩn
nội bộ có thể dẫn đến một hệ thống phân cấp khách quan hoặc nhiều hoặc ít?
Hãy lưu ý cùng một câu hỏi cơ bản như vậy được đặt ra cho hội họa, âm nhạc,
hay nghệ thuật nói chung: nó trở thành một câu hỏi mỹ học. Quả vậy, một câu
trả lời thông thường là toán học trong một phạm vi rộng lớn là một nghệ thuật,
một nghệ thuật mà sự phát triển được phái sinh từ, được chì dẫn bởi, và được
phán đoán căn cứ trên những tiêu chuẩn mỹ học. Đối với người thường, họ
ngạc nhiên có thể nói đến những tiêu chuẩn mỹ học trong một môn học hung
tợn như toán học. Nhưng đối với các nhà toán học, cảm giác này rất mạnh mặc
dầu rất khó giải thích: những gì là quy tắc của mỹ học này? Có thật trong đó
hàm trữ cái vẻ đẹp của một định lý, của một học thuyết? Chẳng có một câu trả
lời nào thỏa mãn tất cả các nhà toán học.
