Chủ trương toán học tương đồng với nghệ thuật được rất nhiều nhà toán học
đồng ý. Chẳng hạn, G. H. Hardy đã có ý kiến rằng, nếu toán học có bất kỳ
quyền tồn tại nào, thời nó chỉ tồn tại như một nghệ thuật.
8
Hoạt động của nhà
toán học có nhiều điểm chung với hoạt động của một nghệ sĩ. Một họa sĩ kết
hợp màu sắc và hình thức, một nhạc sĩ kết hợp các âm điệu, một thi sĩ các ngôn
từ, và nhà toán học các ý niệm của một loại nào đó.
Cảm giác nghệ thuật nói trên trở nên mãnh liệt hơn khi nghĩ đến một nhà
nghiên cứu làm việc và tiến triển như thế nào. Chớ có nghĩ rằng nhà toán học
hoạt động hoàn toàn theo phương thức lôgic và hệ thống. Toán gia thường mò
mẫm trong bóng tối, không biết có nên nỗ lực chứng minh hoặc bác bỏ một
mệnh đề nào đó, và những ý niệm thiết yếu thường xảy ra với chính mình một
cách hết sức bất ngờ, có thể nói đó là một cảm hứng, như với các nhà soạn
nhạc và các nghệ sĩ.
Tuy nhiên, các nhà toán học khác phản bác quan điểm nói trên và chủ
trương một sự liên quan với toán học mà chẳng được hướng dẫn bởi các nhu
cầu của các khoa học tự nhiên là nguy hiểm. Và gần như chắc chắn dẫn đến
các học thuyết có thể khá tinh tế và có thể cung cấp cho tâm một niềm vui đặc
biệt. Nhưng nó biểu tượng một loại gương trí tuệ hoàn toàn không có giá trị từ
quan điểm khoa học hoặc tri thức.
Hiện có một khái niệm toán học có thể tóm tắt như sau. Một mặt, nó là một
khoa học tại vì mục tiêu chính của nó là phục vụ các khoa học tự nhiên và kỹ
thuật. Mục tiêu ấy thực sự là nguồn gốc của toán học và liên tục là một nguồn
suối của các vấn đề. Mặt khác, nó là một nghệ thuật tại vì nó chủ yếu là một
sáng tạo của tâm và tiến bộ đạt được là bằng các phương tiện trí tuệ. Nhiều
phương tiện ấy xuất phát từ chiều sâu của tâm, với các tiêu chuẩn mỹ học là
những trọng tài cuối cùng. Nhưng tự do trí tuệ ấy phải được chi phối bởi khả
thể của các ứng dụng trong các khoa học tự nhiên để vận hành trong một thế
giới của tư tưởng thuần túy.
Tuy nhiên, lối nhìn như thế thực quá hẹp hòi, nhất là điều khoản cuối cùng
quá hạn chế. Nhiều nhà toán học tuyên bố dứt khoát muốn hoàn toàn tự do
hành động, không quan tâm đến những hành vi kẻ khác. Lại có những lãnh vực
toán học thuần túy có rất ít hay chẳng có ứng dụng bên ngoài toán học, nhưng
