đó, mặc dầu mỗi lúc nghĩ đến toán học, họ không thể tránh khói kết luận toán
học chỉ là một sáng tạo của con người.
Chúng ta có thể đáp ứng ngắn gọn và đơn giản khốn cảnh hai chọn lựa với
thuyết cho rằng chúng ta có khuynh hướng thiết định sự tồn tại trên tất cả
những sự vật thuộc một văn minh hay văn hóa trong đó chúng ta chia sẻ chúng
với những người khác hay có thể trao đổi ý kiến về chúng. Cái gì đó trở thành
khách quan (objective; trái ngược với chủ quan = subjective) ngay khi chúng ta
tin chắc nó tồn tại trong tâm trí của người khác trong cùng một hình thức như
trong chúng ta và chúng ta có thể suy nghĩ về nó và thảo luận với nhau về nó.
Bởi vì ngôn ngữ toán học rất chính xác cho nên nó rất thích hợp sự việc định
nghĩa các khái niệm được sự đồng thuận như vậy. Điều đó cũng đủ để gây nơi
chúng ta một cảm giác về một tồn tại khách quan, về một thực tế toán học.
Khái niệm của chúng ta về thực tế vật lý cũng có những tư tưởng giống vậy.
Các nhà toán học chia sẻ với nhau một thực tế trí tuệ, một số khổng lồ các ý
niệm, những đối tượng mà thuộc tính được biết rõ một phần và một phần
không rõ, các học thuyết, định lý, các vấn đề được giải quyết và chưa được giải
quyết, tất cả được khảo cứu bằng những công cụ của tâm. Các vấn đề và ý
niệm đó phần nào do thế giới vật lý đề xuất. Tuy nhiên, nguồn gốc phát sinh
chúng là do các suy cứu toán học thuần túy, như nhóm hay quaternions. Toàn
thể này, tuy bắt nguồn từ tâm trí con người, hiển hiện như một khoa học tự
nhiên theo nghĩa thông thường, như vật lý học hay sinh học, và cũng cụ thể
như những môn học đó. Toán học không chỉ có diện lý thuyết, mà còn có diện
thực nghiệm nữa.
Diện thứ nhất quá rõ ràng. Chúng ta hết sức thực hiện những định lý, nguyên
tắc, chứng minh và phương pháp. Đó là diện lý thuyết. Nhưng lúc khởi đầu,
chúng ta thường chẳng có ý niệm kỳ vọng những gì, và làm thế nào để tiếp tục,
và chúng ta đạt được tri thức và trực quan thông qua thực nghiệm, nghĩa là,
thông qua sự nghiên cứu các trường hợp đặc thù. Đầu tiên, chúng ta hy vọng
bằng cách ấy dẫn đến một suy đoán hợp lý, và thứ đến, có lẽ phát hiện một ý
niệm đưa tới một chứng minh nhất ban. Đương nhiên cũng có thể xảy ra ngay
chính bản thân của một số trường hợp đặc thù gây nhiều hứng thủ. Đó là diện
thực nghiệm. Sự thật chúng ta thao tác với những đối tượng trí tuệ nhiều hơn
