với những đối tượng thực và thiết bị phòng thí nghiệm thực sự không quan
trọng.
Theo truyền thống, các thí nghiệm đó được thực hiện trong não hay với giấy
bút, vì thế mới nói đến công cụ của tâm. Chúng ta cũng phải nói đến máy vi
tính đóng một vai trò ngày càng gia tăng trong việc mang tới cho diện thực
nghiệm của toán học một chiều kích mới. Hiện giờ, chúng ta đã thấy những
tương tác hấp dẫn giữa khoa học máy tính và toán học thuần túy.
Từ “khoa học” bây giờ bao gồm không chỉ các khoa học tự nhiên mà cả khái
niệm bản thân tự nhiên của toán học xem như một khoa học thực nghiệm và lý
thuyết. Nghĩa là, như một khoa học của trí tuệ, với đối tượng và phương thức
sưu tác, tất cả đều là sáng tạo của tâm.
Nói đến động cơ và mỹ học, nếu không sử dụng các ứng dụng của khoa học
tự nhiên làm thước đo, chúng ta không quay lại với ưu nhã của trí lực. Còn có
những tiêu chuẩn thiết thực khác: đó là tính thích ứng, thích dụng
(applicability) trong tự thân toán học. Sự xét đến thực tế toán học ấy, đến các
vấn đề khai phóng, cấu trúc, đến các nhu cầu và kết nối giữa các lãnh vực khác
nhau, đã cho thấy các hướng tiến hành khả dĩ có hiệu quả, có giá trị và cho
phép nhà toán học tự định hướng và đan kết các giá trị tương đối với các vấn
đề cũng như với các lý thuyết. Nhiều ví dụ cho thấy các nhà toán học thường
có khả năng biết trước một số lãnh vực toán học sẽ phát triển như thế nào,
những vấn đề nào cần được giải quyết và có thể được giải quyết nhanh chóng.
Những phát biểu về tương lai của toán học đã được chứng minh là đúng.
Những dự đoán như vậy không hoàn hảo, nhưng chúng đã thành công chỉ ra sự
khác biệt với nghệ thuật.
Giáo sư Armand Borel, giáo sư thường trực ở Institute for Advanced Study
tại Princeton, đã đưa ra ý kiến khái niệm toán học nên được xem như một khoa
học tự nhiên về trí tuệ, như một trong ba thành phần của toán học (hai thành
phần kia là diện lý thuyết và diện thực nghiệm), chẳng phải như toàn bộ. Các
khoa học tự nhiên và kỹ thuật có vô số ứng dụng, phần lớn ảnh hưởng rất nhiều
đến cuộc sống hằng ngày, do đó, thi thiết quyền tồn tại xã hội cho toán học.
Nhưng với nhà toán học thuần túy, điều quan trọng là phê phán bản thân tự
nhiên của toán học (an assessment of mathematics in itself). Sự đóng góp của
