không thể không xem như những thành tựu vĩ đại. Chẳng hạn, thuyết các số
đại số, thuyết trường các lớp, hàm tự đẳng cấu, số siêu hạn, V..V...
Toán học trình bày có mạch lạc và nhất quán hơn trong nghệ thuật. Bằng
chứng là cùng một định lý, thường được chứng minh bởi nhiều nhà toán học
độc lập với nhau, sống trong những vùng cách xa nhau nhiều dặm, hay một số
lượng lớn các tiểu luận có hai tác giả, hay đôi lúc nhiều hơn. Cũng có thể xảy
ra trường hợp các bộ phận của toán học được khai triển hoàn toàn độc lập với
nhau bỗng nhiên diễn thị những liên hệ trong tầng sâu do ảnh hưởng bởi những
kiến giải mới. Toán học, phần lớn, là một cam kết tập thể. Đơn giản hóa và
thống nhất hóa duy trì sự cân bằng với sự phát triển và mở rộng không ngừng
nghỉ. Chúng hiển thị bất đoạn một sự thống nhất phi thường mặc dầu toán học
quá rộng để bị một cá nhân khống chế.
Thật khó giải thích đầy đủ tất cả những điều nêu trên với chỉ những tiêu
chuẩn như ưu nhã và đẹp trí tuệ, và đồng thời xét kỹ các nhu yếu của các khoa
học tự nhiên và kỹ thuật. Tất nhiên phải tìm những tiêu chuẩn hay phương
châm khác. Để dọn đường đến đó, hãy đặt những câu hỏi như toán học có một
sự tồn tại riêng cho tự thân hay không? Chúng ta sáng tạo toán học hay khám
phá lần hồi những học thuyết tồn tại đâu đó độc lập với chúng ta? Nếu quả như
vậy thời thực tế toán học ở đâu?
Những câu hỏi như vậy tất nhiên không thực sự hoàn toàn rõ ràng có ý
nghĩa. Nhưng cái cảm giác toán học, bằng cách nào đó, ở đâu đó, tồn tại sẵn
trước, phổ biến rộng rãi. Chẳng hạn, nó được G. H. Hardy biểu hiện sắc bén:
“Tôi tin rằng thực tế toán học nằm bên ngoài chúng ta, rằng công năng của
chúng ta là phát hiện hay quan sát nó, và rằng những định lý chúng ta chứng
minh và huênh hoang mô tả như những “sáng tạo” của chúng ta, đơn giản là
bút ký ghi lại những quan sát của chúng ta. Quan điểm này, dưới hình thức này
hay hình thức khác, là quan điểm của nhiều triết gia nổi danh, từ Plato trở đi
....”
9
Đối với một tín đồ như Hermite, thực tế toán học tồn tại sẵn trong Thượng
Đế. Nhưng một dẫn chiếu đến nguồn gốc thần linh khó mãn ý một phi tín đồ.
Tuy nhiên, nhiều người có một cảm giác mơ hồ toán học tồn tại một nơi nào
