thực sự thay đổi suốt những thập kỷ qua - đã đi từ thành công này sang thành
công khác, cả về sự hiểu biết lý thuyết và sự dự đoán định lượng thực nghiệm.
Chúng ta đã đi một quãng đường dài từ "các tam giác, vòng tròn, và đồ hình
hình học khác” của Galileo. Trong thời của ông, thật là hợp lý khi kỳ vọng
ràng vật lý học có thể điều hành chỉ với khái niệm hình học (như được thừa
hưởng từ người Hy Lạp) và có thể thêm một chút nữa - chẳng hạn như các ý
tưởng về tiếp xúc hoặc va chạm, và khối lượng và/hay mật độ. Nhưng điều đó
đã không xảy ra. Trí tưởng tượng của thiên nhiên vượt xa trí tưởng tượng
chúng ta! Vì vật lý học tiếp tục nghiên cứu các lĩnh vực mới kế tiếp của hiện
tượng, nên nó phải đưa ra một trình tự các số lượng mới (và cũng phải tinh
chỉnh các số lượng cũ).
Đó là những số lượng vật lý đặc thù (và tất nhiên, các trị của chúng đối với
hệ thống được mô tả) được đề cập đến bởi các ký hiệu trong các phương trình
vật lý học.
Vì vậy để tổng hợp: ngày nay, chúng ta nên sửa lại câu nói của Galileo.
Thay vì "Tự nhiên là một cuốn sách viết bằng ngôn ngữ toán học", chúng ta
nên nói: "Tự nhiên là một cuốn sách được viết bằng cú pháp của toán học,
nhưng với ngữ nghĩa của vật lý".
3.7.2 ... so với toán học thuần túy
Toán học thuần túy là gì? Butterfield có ý gì khi trong đoạn trên thốt lên:
"phân biệt!"?
Vào giữa thế kỷ XIX, có nhiều lý do để xuất hiện ý niệm cho rằng toán học
là nghiên cứu các cấu trúc tùy ý. Nói cách khác: mọi người bắt đầu suy nghĩ về
toán học như là nghiên cứu hậu quả của các quy tắc tùy ý mà một nhà toán học
giả định là chi phối một lãnh vực các yếu tố nào đó. Những quy tắc này là trừu
tượng theo nghĩa chỉ có hành vi về mặt cấu trúc là đáng kể; và các yếu tố là
trừu tượng theo nghĩa không có gì được giả định về bản thân, hoặc về những
tương hỗ quan hệ, ngoại trừ việc chúng tuân thủ các quy tắc đã công bố.
Hình học cung cấp một ví dụ. Một hình học bao gồm một tập hợp các đối
tượng (điềm, đường và mặt phẳng, V..V...) và một số sự thật cơ bản về các đối
tượng này (chẳng hạn, thông qua bất kỳ hai điểm nào ta có thể vẽ một đường).
