Nhưng có nhiều cấu trúc khác nhau đáp ứng cùng sự mô tả đó. Mặt phang hai
thứ nguyên quen thuộc phát sinh một hình học hoàn hảo giống như bề mặt của
quả cầu cũng thế, với các vòng tròn lớn đóng vai trò của các đường thẳng. Cả
hai cấu trúc về cơ bản khác nhau, ít nhất là bởi vì các tam giác có hành vi khác
nhau: trên mặt phẳng, các góc của chúng cọng lại luôn luôn là 180 độ, trong
khi trên mặt cầu tổng cộng ba góc lên hơn 180 độ vì tam giác phình ra phía
ngoài.
Vào thế kỷ XIX, các nhà toán học cũng phát hiện ra một loại hình học thứ
ba, được gọi là hyperbolic, trong đó tổng cộng các góc tam giác là dưới 180
độ. Nó mô tả một không gian chúng ta không gặp trong cuộc sống hàng ngày.
Phát hiện này buộc các nhà toán học phải phân biệt giữa hình học thực tế của
không gian vật lý - một vấn đề thực nghiệm được tiết lộ bởi hành vi của các
thước và thước đo góc - và ý niệm về một hệ thống hình học thuần túy - có thể
nhất trí, và đáng nghiên cứu, mặc dầu nó không mô tả không gian vật lý.
3.7.3 Hai nghĩa của “là” ("is")
Do đó, chúng ta đi đến ý niệm hiện đại về cấu trúc toán học thuần túy: nó
bao gồm một tập hợp các đối tượng, được trang bị một số thuộc tính và quan
hệ giả định, chẳng hạn, một phép nhân tùy thuộc vào một số quy tắc. Các đối
tượng, thuộc tính và quan hệ tất cả đều trừu tượng theo nghĩa là không có gì
được giả định về bản thân của chúng, ngoại trừ hành vi được giả định bởi các
quy tắc. Điều quan trọng đối với chúng ta là sự tương phản chủ yếu đối với
toán học ứng dụng và các cấu trúc của nó: trong toán học thuần túy các số
lượng vật lý không được đề cập.
Sự khiếm khuyết nội dung
4
của một cấu trúc toán học thuần túy hoàn toàn
tương thích với ý niệm rằng cái gì đó có nội dung, chẳng hạn, cái gì đó đề cập
các số lượng vật lý, là một sự lệ (instance) của một cấu trúc toán học thuần túy.
Ví dụ, ở đây tôi đang tồn tại với vô số thuộc tính của tôi, về kích thước, hình
dạng, khối lượng, nhiệt độ, V..V... Đây là gia đình tôi với vô số thuộc tính và
quan hệ - tổng khối lượng của chúng tôi, người này mập hơn người kia,
người kia đang ở giữa hai người khác, V..V.... Tất cả những điều ấy đều có
nội dung. Nhưng tôi cũng là một sự lệ của nhiều thuộc tính trừu tượng không
có nội dung: về số, nhỏ thua hai, chẳng phải là một phương trình, V..V.... Và
