Tín hiệu và hệ thống
105
Mô hình không gian trạng thái
Bất kỳ một bộ lọc số nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng một hệ thống các phương
trình sai phân cấp một. Cụ thể là một hệ thống tuyến tính rời rạc có thể được mô tả bằng hệ
sau:
⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
+
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
n
Dy
n
Cx
n
y
n
Bu
n
Ax
n
x
(9.13)
trong đó:
u là tín hiệu vào, x là vector trạng thái, y là tín hiệu ngõ ra.
A là một ma trận kích thước m x m với m là bậc của bộ lọc, B và C là các vector cột và D là
một vô hướng.
Trong trường hợp hệ thống đa kênh thì ngõ vào u, ngõ ra y trở thành các vector, còn B, C và
D trở thành các ma trận.
Xuất phát từ biểu thức Y(z) =H(z)U(z), ta suy ra quan hệ giữa hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc
với các ma trận B, C và D:
H(z) = C(zI – A)
1
−
B + D (9.14)
Mô hình khai triển các phân thức (mô hình thặng dư)
Bất kỳ hàm truyền đạt H(z) nào cũng có thể khai triển thành tổng của các phân thức hữu tỷ
theo dạng sau (còn gọi là dạng thặng dư):
)
(
1
1
1
)
1
(
...
)
2
(
)
1
(
)
(
1
)
(
...
)
1
(
1
)
1
(
)
(
)
(
)
(
n
m
z
n
m
k
z
k
k
z
n
p
n
r
z
p
r
z
a
z
b
z
H
−
−
−
−
−
+
−
+
+
+
+
−
+
+
−
=
=
(9.15)
với điều kiện H(z) không có cực nào lặp lại. Trong trường hợp H(z) có một cực r nào đó được
lặp lại
r
s
lần (nghĩa là r là cực bội
r
s
của H(z)) thì ứng với các cực p(j) = p(j+1) = ...= p(j+
r
s
-
1) này, trong khai triển hữu tỷ của H(z) sẽ có các số hạng sau:
r
s
r
z
j
p
s
j
r
z
j
p
j
r
z
j
p
j
r
)
)
(
1
(
)
1
(
...
)
)
(
1
(
)
1
(
)
(
1
)
(
1
2
1
1
−
−
−
−
−
+
+
+
−
+
+
−
(9.16)
Mô hình này được biểu diễn bằng ba vector cột: vector p chứa các cực của H(z), vector r
chứa các thặng dư tương ứng với các cực (tức các hệ số r(j) trong các biểu thức (9.15), (9.16))
và vector k chứa các hệ số k(i). Vậy length(r) = length(p) = length(a) – 1.
Hàm residuez cho phép ta chuyển đổi từ mô hình hàm truyền sang mô hình thặng dư và
ngược lại.
>> [r,p,k] = residuez(b,a)
>> [b,a] = residuez(r,p,k)
b, a là các vector hệ số của bộ lọc còn (r, p, k) biểu diễn mô hình thặng dư của bộ lọc.
Khi xác định mô hình thặng dư từ các vector a và b, MATLAB sẽ xem như hai cực của H(z)
là trùng nhau nếu chúng sai khác nhau không quá 0,1% biên độ của cả hai, và khi đó
MATLAB sẽ sử dụng (9.16) để xác định các giá trị thặng dư.
Mô hình các khâu bậc 2 (SOS – Second Order Sections)
Hàm truyền H(z) cũng có thẻ biểu diễn dưới dạng:
