các nhà toán học đã cố gắng một cách vô vọng, sử dụng những Tiên đề khác,
các định nghĩa, định lí để chứng minh rằng mặc dù là đúng, nhưng định đề thứ
năm không độc lập với bốn định đề kia, và nó không nên mang vị thế của một
định đề. Nếu chứng minh được như vậy, thì định đề thứ năm có thể giảm
xuống trở thành một định lí thông thường, và khi đó chỉ còn lại bốn định đề cơ
bản. Trong nỗ lực vô vọng này, thật không đong đếm được khối lượng sáp nến
đã chảy ra.
Tuy nhiên, mãi đến thế kỉ mười chín thì mới có một nhà toán học có thể
chứng minh được rằng Euclid đã sai. Nếu định đề thứ năm là không đúng, thì
con đường đã mở ra cho việc xây dựng nên một thứ không gian khác với cái
không gian phẳng đã in hằn trong não trạng của chúng ta trong suốt gần hai
ngàn ba trăm năm với niềm tin rằng Euclid là thiêng liêng bất khả xâm phạm.
Năm 1824, nhà toán học Karl Fredrich Gauss đã thận trọng đưa ra ý kiến
rằng có thể có một biến thể khác với không gian chặt chẽ của Euclid. Gauss đã
không bao giờ công bố các ý tưởng đó của mình, có lẽ bởi sợ bị đồng sự chế
giễu, và niềm vinh dự là người đầu tiên công bố quan điểm đó đã chuyển sang
cho nhà toán học người Nga Nikolai Ivanovich Lobachevski. Năm 1840,
Lobachevski đã táo bạo công bố một loại hình học tưởng tượng phi Euclid, dựa
trên giả thuyết rằng định để thứ năm là không đúng. Sự thận trọng của Gauss
đã được biện minh: vị giáo sư người Nga này đã bị mất việc bởi ông đã báng
bổ Euclid. Nhưng liên quan đến vấn đề này, Lobachevski, thực tế cũng như tất
cả những người khác, đã không biết được rằng vào năm 1830 một chàng trai
người Hung, János Bolyai, đã chèn một bản miêu tả một kiểu không gian phi
Euclid, như một đoạn nghĩ thêm trong một phụ lục của chuyên luận toán học
Tentament của cha mình. Giống như Lobachevski và Gauss. Bolyai đặt vấn đề
nghi ngờ định đề thứ năm thiêng liêng. Tất cả những kiểu hình học phi Euclid
ấy dường như không thể nào tưởng tượng nổi, bởi vì tổng các góc trong của
các tam giác thuộc những hệ thống đó lại phải nhỏ hơn 180 độ, cái mà mọi cô
cậu học trò đều biết là không thể có.
Năm 1854, Georg Riemann, một nhà toán học người Đức hai mươi tám tuổi,
không biết rằng trước đấy đã có những công bố liên quan đến vấn đề này, đã
đọc một bài giảng tại Göttingen và đưa ra một khoa học về không gian phi
Euclid, ở đó tổng các góc trong của tam giác lại lớn hơn 180 độ. Trong môn
