hình học lạ lùng này của Riemann, không có các đường thẳng song song và
khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm là một đường cong, chứ không phải một
đường thẳng. Mãi đến năm 1867, sau khi Riemann mất, các bài giảng của ông
mới được xuất bản. Trong khoảng thời gian từ lời đề xuất ướm thử đầu tiên của
Gauss về một loại không gian thay thế khác cho đến khi các bài giảng của
Riemann được xuất bản, không có ai ngoài một nhóm nhỏ các nhà toán học
nhận thấy được tầm quan trọng của những bước tiến này trong tư duy trừu
tượng. Sự thờ ơ này có một phần không nhỏ là do bản chất quá chuyên môn
của vấn đề.
Trong hệ thống của Euclid, không gian là vô hạn và không có biên giới. Nếu
một nhà thám hiểm cất bước ra đi theo một đường thẳng tắp trong mặt phẳng
hai chiều của Euclid, thì chắc chắn là anh ta sẽ không bao giờ còn được trông
thấy hay nghe đến nữa và hành trình của anh ta sẽ là vô tận. Trong hệ thống
phi Euclid của Riemann thì không phải thế: sớm hay muộn, theo bất kì hướng
nào mà người lữ hành ra đi trên một mặt Riemann, thì hình dạng của không
gian Riemann vẫn bảo đảm rằng anh ta sẽ quay về lại đúng nơi anh ta xuất
phát.
Khả năng về một không gian cong là không thể nào tương thích với những
tiên đề tuyến tính của Euclid. Trong không gian phi Euclid của Riemann, các
vật thể nằm trong không gian cong đó không thể giữ nguyên hình dạng tuyệt
đối của mình, chúng thay đổi phụ thuộc vào vị trí của chúng trong không gian.
Để hình dung ra được hình dạng của các vật thể tồn tại trong một thế giới phi
Euclid như vậy, người ta phải chấp nhận những biến dạng méo mó không thể
hiện trong thế giới thị giác kiểu Euclid của não trạng phương Tây.
Đồng thời với cuộc cách mạng nhiếp ảnh và những tư biện của các nhà toán
học, công chúng đã nhận được những lời cảnh báo rằng các hệ hình phương
Tây về không gian, thời gian và ánh sáng sắp sửa sẽ thay đổi. Những lời cảnh
báo ấy, như thường lệ, lại xuất phát từ những đảo lộn trong lĩnh vực nghệ
thuật. Vào những năm 50 của thế kỉ mười chín, nước Pháp nói chung và Paris
nói riêng là trung tâm của thế giới nghệ thuật. Viện Hàn lâm Mĩ thuật bên bờ
sông Gauche đã lập ra một uỷ ban độc tài bao gồm các họa sĩ lớn tuổi và các
chính trị gia, những người này quy định các chuẩn mực của cái tạo nên nghệ
thuật tốt đẹp và cai trị thế giới nghệ thuật bằng một bàn tay chuyên chế. Các
