các thuật ngữ của mình, rồi đưa ra các tiên đề mà theo ông, chúng đã hiển
nhiên đến mức không cần phải chứng minh gì cả. Rồi từ đó ông phát biểu năm
định đề của mình. Những định đề quen thuộc như các đường thẳng song song
không bao giờ cắt nhau, hay tất cả các góc vuông đều bằng nhau - trong suốt
hơn hai ngàn năm qua đã được coi là cái trục cốt lõi của chân lí.
Từ năm định đề cơ bản, Euclid tiếp tục suy ra các định lí và mệnh đề khác.
Sự chứng tỏ tính chân lí cố hữu của hệ thống Euclid bắt nguồn từ thực tế là các
định nghĩa và tiên đề của ông đều có thể dùng để chứng minh các định lí.
Nhưng Euclid cũng nêu ra một số giả thiết khác, không được ông đề cập tới
trong cuốn Các cơ sở của mình. Ví dụ, ông tổ chức không gian theo cách
dường như các điểm của nó có thể kết nối với nhau bằng một mạng tưởng
tượng những đường thẳng mà thực tế không tồn tại trong tự nhiên. Hình học là
một hệ thống hoàn toàn dựa trên sự trừu tượng hóa của trí tuệ. May mắn thay,
khi nó được đem áp lên hiện thực bên ngoài, thì tự nhiên đã ngoan ngoãn
chứng thực cho sản phẩm tưởng tượng ấy của trí óc. Sử dụng khái niệm của
Euclid về không gian, nhà triết học kiêm kĩ sư ở thế kỉ thứ ba trước CN
Archimedes đã đưa ra một tiên đề hiển nhiên nói rằng khoảng cách ngắn nhất
giữa hai điểm là một đường thẳng. Quy tắc này, không cần phải thật sự nói rõ
ra hơn, đã hàm ý rằng không gian của Euclid là đồng đều, liên tục và thuần
nhất. Không có các lỗ thủng, các chỗ lồi hay các chỗ bị uốn cong, và ở mọi
nơi, không gian được coi là hoàn toàn như nhau. Nếu đường thẳng tình cờ hóa
thành một cái thước kẻ và nếu chúng ta dùng trí tưởng tượng của mình, thì
không gian của Euclid có thể cắt ra được thành từng nhát và đánh số thứ tự
trên các cạnh của những nhát cắt ấy, khiến cho không gian Euclid có thể đo
được.
Một giả thiết nữa ngụ ý trong không gian Euclid mà ông đã không nói rõ ra,
rằng không gian là hoàn toàn trống rỗng. Vì không gian đối với Euclid là
không có chất đặc, nên người ta có thể đặt các vật thể, các dạng, các hình vào
trong đó và di chuyển chúng từ chỗ này sang chỗ kia mà không sợ ảnh hưởng
đến không gian hay các vật khác. Không gian không thể tương tác với khối
lượng hay các dạng bởi vì không gian thực chất chẳng có gì cả. Nó là một cái
thùng chứa rỗng không mà người Hi Lạp có thể bố trí trong đó các vật thuộc
thực tại của họ.
