rằng những cái đó có thực trong kinh nghiệm, và nói tổng hợp tiên thiên là
nói thêm rằng những cái đó nhất thiết được thực hiện trong bất cứ trường
hợp nào. Thí dụ: 7 + 5 = 12. Người ta có thể tưởng đó là một mệnh đề phân
tích, nhưng theo Kant thì đó là một mệnh đề tổng hợp vì tổng số 12 không
nằm sẵn trong số 7 và số 5. Cho nên tất cả các mệnh đề toán học và số học
đều tổng hợp và tổng hợp tiên thiên. Kant còn lấy thí dụ định lý “Giữa hai
điểm, đường thẳng là đường ngắn nhất” và bất cứ định lý hình học nào đều
là những mệnh đề tổng hợp hết, vì trong quan niệm đường thẳng chỉ có
phẩm tính “thẳng” thôi, không bao hàm ý nghĩa gì về lượng tính “ngắn
nhất” hết. Bởi vậy khi nói “giữa hai điểm, đường thẳng là đường ngắn nhất”
chúng ta thực sự đã ra khỏi quan niệm của đường thẳng để đạt tới một quan
niệm mới nữa là quan niệm quãng cách, cũng như thí dụ trên kia “tất cả các
vật thể đều có trọng lượng” chúng ta đã ra khỏi quan niệm về vật thể để tiến
sang quan niệm tương quan giữa hai vật thể, bởi vì trọng lượng chính là sự
vạn vật hấp dẫn nhau.
Đến đây Kant đã chứng minh được rằng Toán học là khoa học gồm toàn
những mệnh đề tổng hợp tiên thiên, liên can đến những hình thể và những
tương quan giữa các hình đó, đúng như ta quan niệm một cách thuần túy
tiên thiên về chúng. Với tính chất tổng hợp, Toán học là khoa học thực sự vì
mang lại cho ta những tri thức mới mẻ. Với tính chất tiên thiên, Toán học đã
kiến tạo nên các hình thể và xác định tất cả những tương quan có thể có nơi
các hình đó, bao trùm tất cả những gì người ta có thể quan niệm và tưởng
tượng về các hình đó. Nhân đó tri thức toán học là tri thức khoa học đích
thực với hai đặc tính là phổ quát và tất yếu. c) Sau cùng Kant đặt vấn đề căn
bản hơn nữa: ‘'Làm, sao có thể có khoa Toán học thuần túy ?”. Ông chỉ
phớt qua vấn đề này trong cuốn Phê bình lý trí thuần túy, nhưng lại bàn
luận tỉ mỉ nơi cuốn Sa luận. Ông không nêu lên vấn đề này vì khoa toán
học, nhưng vì khoa Siêu hình học dưới đây: từ chỗ tìm ra nguồn gốc một
khoa học, ông sẽ tiến sang chỗ tìm ra nguồn gốc tri thức khoa học nói
chung, rồi từ đó bước sang giai đoạn cuối cùng là xác định khả năng và giới
hạn của trí năng con người. Nói cách khác, chủ đích của ông là lập một tòa
