Trên quan điểm nhận thức luận, cuộc cách tân toán học lớn nhất của thế kỷ XIX,
gắn liền với tên tuổi của Nicolas Lobatchevsky (1792-1856) và Janos Bolyai
(1802-1860), chắc chắn là cuộc cách tân toán học phi - Euclide, nó bao hàm một
cuộc xét lại triệt để quan niệm về bản chất các môn toán và tương quan của chúng
với thế giới vật lý. Từ thời Euclide, người ta coi công lý như là những chân lý
hiển nhiên tương đối với các hình thể của không gian vật lý. Thế mà giờ đây
người ta khám phá ra rằng người ta có thể tạo nên những hệ thống mạch lạc lấy ra
trong số các công lý sự phủ định chính công lý của Euclide về các đường song
song (từ một điểm ngoài một đường thẳng chỉ có thể kẻ một và chỉ một đường
song song với đường thẳng đó mà thôi) và rằng những hệ thống này có thể mô tả
những đặc tính của không gian vật lý cũng tốt như hệ thống Euclide. Khi đó
những công lý hiện ra như là một toàn bộ những giả thuyết mà chức năng không
phải là biểu thị thực tại, mà là dùng làm cơ sở để phát triển những xây dựng mà
tương quan với thực tại chỉ có tính công cụ và gián tiếp. Ít ra đó cũng là kết luận
mà David Hilbert (1862-1943) đạt tới; ông dứt khoát đặt vào trong dấu ngoặc vấn
đề tương quan giữa hình học với thực tại. Trong quyển Những nền tảng của hình
học (Grundlagen der Geometrie), 1899 không gian được coi như một khái niệm
toán học và những công lý như là những phát biểu của một ngôn ngữ hình thức từ
đó người ta diễn dịch ra những định lí Hình học không phải là một Khoa học ứng
dụng vào những kinh nghiệm của chúng ta mà là một khoa học thuần tuý, cùng
hàng với đại số hay số học. Chính nơi bản thân nó, trong một tổ chức nghiêm xác
của những mệnh đề mà nó tìm thấy nền tảng cho mình. Trái với những gì mà triết
lý của Kant giảng dạy, việc xây dựng những không gian kỉ hà là một vấn đề hoàn
toàn độc lập với sự nghiên cứu không gian vật lý.
Dầu là ý tưởng sáng chói nhất, song ý tưởng về hình học Euclide không phải vì
thế mà không được chuẩn bị bởi những công trình hình học quan trọng khác. Lý
thuyết về các mặt phẳng, được đề xướng bởi Leonhard, Euler (1707-1783), được
phát triển bởi Monge và nhất là bởi Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Vị này
mang lại một đóng góp quyết định cho hình học vi phân về những mặt phẳng
trong một không gian ba chiều khi soi những mặt phẳng này theo cách nội tại
(như là tự chúng tạo thành những không gian) và bằng cách định nghĩa nhất tính
về chiều dài của một cung đường cong trên một mặt phẳng. Tổng quát hoá điều
đó, Bernhard Riemann (1826-1866) phát triển hình học nội tại của một không
