gian bất kì, hay là phức hợp với n chiều, điều đặc biệt hợp thời, được chào đón
nồng nhiệt vào lúc mà các nhà vật lý cần đến những hàm số có hơn hai biến số.
Về một phía khác, Jean Victor Poncelet (1788-1867) chỉ cho chúng ta phân biệt
những đặc tính phóng chiếu của các hình với những đặc tính métriques của chúng
và Christian von Standt (1789-1867) bắt đầu xây dựng môn hình học phóng chiếu
(la géométrie projective) trên những khái niệm độc lập với những khái niệm về
chiều dài và về đo lường. Về sau, Félix Klein (1849-1925) chỉ ra tính tổng quát
của hình học phóng chiếu trong tương quan đồng thời với hình học Euclide và
hình học phi - Euclide bao hàm cả những nhận định métriques. Và trong cương
lĩnh Erlangen nổi tiếng đưa ra vào năm 1872, ông xác lập rằng mỗi môn hình học
có thể được đặc trưng bởi một nhóm những biến đổi, hay là, chính xác hơn, bởi
những cái bất biến (des invariants) trong tương quan với nhóm những biến đổi
này. Klein thống nhất những môn hình học khác nhau chung quanh khái niệm
nhóm và thiết lập một giao hỗ mạnh mẽ giữa đại số và hình học, vẫn không
ngừng thống trị nhiều công trình nghiên cứu đương đại.
Trong đại số, chủ yếu là những công trình của Évariste Galois (1811-1832) đã
khai đoan cái phong cách tư tưởng cơ cấu (le style de pensée structurale) mà
Klein đã trực tiếp vận dụng trong bản phân loại các môn hình học. Như thế
Galois là cỗi nguồn đầu tiên của một trào lưu, được minh hoạ xuất sắc bởi
Leopold Kronecker (1823-1891), Richard Dedekind (1831-1916) hay Heinrich
Weber (1842-1913), đưa đến toán học hiện đại.
Rất đặc trưng của thế kỷ XIX là đà tiến mạnh mẽ của vật lý toàn học với những
công trình của Joseph Fourier (1768-1830) về nhiệt, tiếp theo bởi các công trình
của André Marie Ampère (1775-1836), Siméon Denis Poisson (1781-1840),
Charles François Sturn (1803-1855).
Đà tiến này được đánh dấu bởi hai khuynh hướng, một hướng về thuật toán
(algorithmique), lộ rõ trong phương pháp những xêri của Fourier, và khuynh
hướng kia trừu tượng và định phẩm, đại diện bởi phương pháp giải những
phương trình vi phân do Sturm và Liouville xác định. Sự đổi mới phương pháp
phân tích toán học có phần gắn liền với đà tiến này. Người ta sẽ nêu ra trước hết
hai đóng góp quan trọng của nam tước Augustin Louis Cauchy (1789-1857): các
