12/2/2015
10
19
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Điều khiển tối ưu LQR hệ tuyến tính
Sau khi xác định được
(0), ta sẽ có (t) và u(t). Tuy nhiên, bài toán cần phải giải
lại khi điều kiện đầu thay đổi. Ngoài ra, đầu vào điều khiện u(t) là khả thi chỉ trong
biểu diễn, vì điều khiển ở dạng này không phải là hàm của các biến trạng thái
(vòng điều khiển mở).
Lời giải bài toán tối ưu vòng điều khiển kín (phản hồi trạng thái):
( )
( ) ( ),
T
t
t
t
=
=
S x
S
S
l
(28)
Sử dụng phép biến đổi sau
Thay vào (25) ta được
( )
,
T
d t
dt
=
+
= -
-
Sx
Sx
Qx
A Sx
l
(29)
Cùng với (21, 24) ta được
(
)
1
0
T
T
-
+
-
+
+
=
S
SA SBR B S
Q
A S x
(30)
20
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Điều khiển tối ưu LQR hệ tuyến tính
Biểu thức (30) đúng với mọi x(t) nên
1
0
T
T
-
+
-
+
+
=
S
SA SBR B S
Q
A S
(31)
Từ (13) và (28) cho ta
( )
( ), ( )
( ) ( )
( )
f
T
f
f
f
f
f
f
t t
G
t
t
t
t
t
t
=
æ
ö
¶ ÷
ç
÷
=
=
=
=
ç
÷
ç
÷
ç ¶
è
ø
Fx
S
x
S
F
x
l
l
(32)
Phương trình (31) được gọi là phương trình Riccati. Phương trình vi phân phi
tuyến này có thể được giải quyết bằng phương pháp số để nhận được ma trận
S(t). Từ đó xác định được véc tơ điều khiển
1
1
( ) ( )
( ) ( ),
( )
( )
T
T
t
t
t
t
t
t
-
-
= -
= -
=
u
R B S x
K x
K
R B S
(33)
Cấu trúc của (33) có dạng điều khiển phản hồi trạng thái với ma trận tối ưu K(t).
Vì lời giải S(t) không phụ thuộc vào trạng thái hệ, nên điều khiển này là tối ưu
cho tất cả các điều kiện ban đầu của véc tơ trạng thái, x(0).
