12/2/2015
12
23
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Điều khiển tối ưu LQR hệ tuyến tính
Xét trường hợp có số hạng chéo trong hàm mục tiêu
Khi đó sử dụng phép biến đổi
0
1
1
( ) ( )
2
2
2
f
t
T
T
T
T
f
f
J
t
t
dt
é
ù
=
+
+
+
ê
ú
ë
û
ò
x
Fx
x Qx
u Ru
x Nu
1
1
2
&
T
T
T
T
T
m
T
T
m
-
-
+
+
=
+
=
-
= +
x Qx
x Nu
u Ru
x Q x
v Rv
Q
Q
NR N
v
u
R N x
Với
Khi đó hàm mục tiêu trở thành
0
1
1
( ) ( )
2
2
f
t
T
T
T
f
f
m
J
t
t
dt
é
ù
=
+
+
ê
ú
ë
û
ò
x
Fx
x Q x
v Rv
Hệ ban đầu được biến đổi tương ứng thành
1
, with
,
T
m
m
-
=
+
=
-
x
A x
Bv
A
A
BR N
24
Nguyen Quang Hoang
Department of Applied Mechanics
Điều khiển tối ưu LQR hệ tuyến tính
Giả sử rằng Q
m
đối xứng, bán xác định dương, khi đó bài toán được biến đổi về
dạng như đã trình bày. Lời giải của bài toán này có nghiệm như sau:
Thuật giải
3. Giải phương trình Riccati (31), hệ ptvp thỏa mãn điều kiện cuối
4. Xác định ma trận K
m
(t) từ đó xác định véc tơ điều khiển
1. Chọn các ma trận Q = Q
T
0, R = R
T
> 0, F = F
T
0, và ma trận N
1
0,
( )
T
T
m
m
m
m
m
m
m m
m
f
t
-
+
-
+
+
=
=
S
S A
S BR B S
Q
A S
S
F
1
( )
( )
,
( ) ( )
T
T
m
m
m
t
t
t
t
-
é
ù
=
+
ê
ú
ë
û
= -
K
R
B S
N
u
K
x
2. Tính các ma trận Q
m
và A
m
(kiểm tra ma trận Q
m
0, bán x.đ.d)
1
1
,
T
T
m
m
-
-
=
-
=
-
Q
Q
NR N
A
A
BR N
Lệnh Matlab:
>> K = lqr(A,B,Q,R)
