chịu như thế, cũng không sao, vậy tôi xin giới hạn mệnh đề của tôi chỉ trong toán
học thuần tuý thôi mà ngay khái niệm của nó [tên gọi "thuần tuý"] đã ngụ ý rằng
nó không chứa đựng nhận thức thường nghiệm nào, trái lại chỉ toàn là nhận thức
thuần tuý tiên nghiệm.
Thoạt nhìn, người ta có thể nghĩ rằng: mệnh đề 7+5=12 chỉ là một mệnh đề phân
tích đơn thuần, rút ra từ khái niệm về một tổng của 7 và 5 dựa theo nguyên tắc
mâu thuẫn. Chỉ có điều, nếu xem xét mệnh đề ấy kỹ hơn, người ta sẽ thấy rằng
khái niệm về tổng của 7 và 5 không chứa đựng điều gì khác hơn là sự hợp nhất
của hai con số này trong một con số duy nhất, nhưng qua đó hoàn toàn không hề
được suy tưởng về con số duy nhất nào bao hàm cả hai con số kia. Khái niệm về
con số 12 không hề được suy tưởng ngay khi tôi chỉ suy tưởng về sự hợp nhất của
7 và 5, và dù tôi có phân tích khái niệm của tôi về một tổng có thể có ấy bao
nhiêu đi nữa, tôi cũng sẽ không thể tìm gặp được trong đó con số 12. Người ta
phải đi ra khỏi các khái niệm này bằng cách nhờ đến sự trợ giúp của trực quan
tương ứng với một trong hai số đó, chẳng hạn nhờ 5 ngón tay, hay (như Segner
trong môn Số học của ông) nhờ năm điểm; rồi dần dần đem các đơn vị trong con
số 5 được mang lại trong trực quan thêm vào cho khái niệm về con số 7. Vì
[trong mệnh đề này] trước hết tôi lấy con số 7, nên bằng cách nhờ vào các ngón
tay trong bàn tay như là trực quan cho khái niệm về số 5, tôi đem các đơn vị mà
trước đó đã được tập hợp để tạo ra con số 5 thêm dần vào cho số 7 dựa trên hình
ảnh [cụ thể của bàn tay tôi], và qua đó tôi thấy con số 12 xuất hiện ra. 5 phải thêm
vào cho 7 là điều tôi đã suy tưởng trong khái niệm về một tổng = 7+5, nhưng
không hề suy tưởng rằng tổng này phải bằng con số 12. Vậy, mệnh đề số học bao
giờ cũng có tính tổng hợp, điều người ta càng thấy rõ khi lấy những con số lớn
hơn, vì trong trường hợp đó rõ ràng là, nếu không nhờ trực quan giúp đỡ và chỉ
dựa vào sự phân tích đơn thuần các khái niệm, dù ta có xoay trở các khái niệm
bao nhiêu theo ý muốn thì cũng không bao giờ tìm ra được tổng số.
Cũng vậy, không có nguyên tắc nào của Hình học thuần tuý lại có tính phân tích.
Mệnh đề: "đường thẳng giữa hai điểm là đường ngắn nhất" là một mệnh đề tổng
hợp. Vì khái niệm của tôi về "thẳng" không chứa đựng khái niệm nào về lượng
[tức độ ngắn/ dài] mà chỉ khái niệm về một tính chất [tính thẳng]. Khái niệm về
cái "ngắn nhất" ấy là cái gì hoàn toàn được thêm vào chứ không thể được rút ra từ
